¿Cuál de las siguientes forma un ideal en este anillo?

Question

Dejemos que $C(R)$ denota el anillo de todas las funciones continuas de valor real sobre con las operaciones de suma y multiplicación puntual. ¿Cuál de las siguientes forma un ideal en este anillo?

• El conjunto de todos los $C^{\infty}$ funciones con soporte compacto.

• El conjunto de todas las funciones continuas con soporte compacto.

• El conjunto de todas las funciones continuas que desaparecen en el infinito, es decir, funciones tales que $$\lim_{|x|\to\infty}f(x) = 0$$

Answer 1

Por la definición de un subring, un ideal de $C(\mathbb{R})$ sería un subconjunto $I$ de $C(\mathbb{R})$ tal que:

• Para $f_1,f_2 \in I$ , $f_1 + f_2 \in I$
• Para cualquier $f \in I$ y cualquier $g \in C(\mathbb{R})$ , $f\cdot g \in I$ .

Teniendo esto en cuenta, el conjunto de funciones continuas con soporte compacto es el único conjunto que has descrito que satisface todas estas propiedades.

Por qué los otros conjuntos no son ideales:

El conjunto $C^\infty(\mathbb{R})$ :

Tenga en cuenta que $f = 1$ dado por $f(x) = 1$ está en $C^\infty(\mathbb{R})$ y $g$ dado por $g(x) = |x|\in C(\mathbb{R})$ pero $f\cdot g = g \not \in C^\infty(\mathbb{R})$ . Por cierto, esta es la razón por la que ningún subconjunto propio de un anillo que contenga la identidad multiplicativa puede ser un ideal de ese anillo.

El conjunto de funciones con soporte compacto:

No todas estas funciones son continuas, por lo que no es un subconjunto de $C(\mathbb{R})$ (Te dejo que encuentres un contraejemplo). Por lo tanto, no es un ideal del mismo.

El conjunto $C_0(\mathbb{R})$ de funciones continuas que desaparecen en $\pm \infty$

Tenga en cuenta que $f$ dado por $f(x) = e^{-|x|}$ está en $C_0(\mathbb{R})$ y $g$ dado por $g(x) = e^{|x|}$ es continua. Sin embargo, $f \cdot g = 1$ no está en $C_0(\mathbb{R})$ .