¿Existen dos grupos que son categóricamente equivalentes en Morita pero sólo uno de ellos es simple

Question

¿Puedes encontrar dos grupos finitos G y H tales que sus categorías de representación sean equivalentes en Morita (es decir, que haya una categoría de bimódulos invertibles sobre estas dos categorías monoidales) pero en la que G sea simple y H no lo sea? La referencia estándar para las categorías de módulos y las nociones relacionadas es este documento de Ostrik

Esta es una condición mucho más fuerte que decir que C[G] y C[H] son equivalentes de Morita como anillos (donde C[A_7] y C[Z/9Z] da un ejemplo, ya que ambos tienen 9 factores matriciales). Es más débil que preguntarse si un grupo simple puede ser isocategórico (es decir, tener categorías de representación que sean equivalentes como categorías tensoriales) con un grupo no simple, lo que se demostró que era imposible por Etingof y Gelaki .

Matt Emerton me hizo esta pregunta cuando intentaba explicarle por qué no me gustaba ninguna noción de "simple" para las categorías de fusión. Es de interés para el estudio de las categorías de fusión en las que la categoría de fusión dual par de Haagerup parece ser "simple", mientras que la categoría de fusión principal par de Haagerup parece ser "no simple", aunque las dos son categóricamente equivalentes de Morita.

Answer 1

Creo que la respuesta a su pregunta se encuentra en Naidu, Nikshych y Witherspoon - Subcategorías de fusión de categorías de representación de dobles cuánticos retorcidos de grupos finitos , teorema 1.1.

Subcategorías del doble $D(G)$ están dadas por pares de subgrupos normales $K$ , $N$ en $G$ que se centralizan entre sí, junto con el dato de un bicarácter $K\times N \to \mathbb C^\times$ .

Así que, en particular, si $G$ no tiene subgrupos normales y $H$ lo hace, entonces vas a encontrar que $D(G)$ no tiene subcategorías no triviales, mientras que $D(H)$ voluntad (se puede tomar $K$ el subgrupo normal en $H$ , $N=\{id\}$ y el bicarácter $K\to \mathbb C^\times$ para ser trivial, supongo).

Answer 2

Los grupos categóricamente equivalentes de Morita fueron estudiados por Deepak Naidu en Equivalencia categórica de Morita para categorías teóricas de grupos . Allí obtuvo una descripción completa de grupos equivalentes de Morita. También se demuestra que los grupos simples son categóricamente rígidos de Morita.

Answer 3

¿No se deduce que los dobles cuánticos de los dos grupos son isomorfos? ¿Ayudaría esto a plantear la pregunta? (Perdón por publicar esto como respuesta, no logré dejarlo como comentario).

Answer 4

Lo más lejos que llegué pensando en este problema (y no he pensado mucho en ello) es que las categorías de módulos sobre $\mathbb C[G]$ se clasifican en la sección 3.4 de Ostrik - Categorías de módulos, álgebras de Hopf débiles e invariantes modulares . Corresponden a pares $K$ un subgrupo de $G$ y una elección de la extensión central de $K$ (o equivalentemente, una determinada clase de cohomología). En el caso de que no haya extensión central, la categoría dual es una especie de categoría de álgebra de Hecke $\text{$ \[Mathbb C] [K\backslash G/K] $-mod}$ que nunca he entendido del todo. Tampoco sé cómo modificar esa construcción cuando se introduce la extensión central. De todos modos, modulo entender esas cuestiones, la cuestión se reduce a cuando una categoría de álgebra de Hecke retorcida $\text{$ \[Mathbb C] [K\backslash G/K] $-mod}$ puede ser equivalente como categoría tensorial a $\text{$ \mathbb C[H] $-mod}$ para algún grupo $H$ .