¿el mínimo de una función convexa en diferentes dominios es convexo?

Question

Dejemos que $$ f(x,y)=\min(|x-c|,|y-c|), $$ donde $x,y,c \in[0,1]$ . Deseo demostrar que $f$ es cuasiconvexa.

No fui capaz de probar la demanda para este caso sin un tedioso análisis del caso. ¿Alguna idea?

Gracias.

Answer 1

Es cuasi-convexo.

Prueba: para simplificar, supongamos que $c=0$ de lo contrario, puede cambiar $f$ horizontalmente.

Así que $f(x,y)=\min (|x|,|y|)$ , entonces cada $\alpha-$ conjunto de niveles de $f$ es decir, $$\{(x,y) \in R^2 ~ | \quad \min(|x|,|y|) \leq \alpha \}$$ es un cuadrado sólido, por lo que es un subconjunto convexo de $R^2$ Por lo tanto $f$ es cuasi-convexo.

Answer 2

Si $g_1(x)=x^2$ y $g_2(y)=(1-y)^2$ entonces $f(x,y)$ no es convexo a lo largo de la línea $x=y$ : $f(0,0)=f(1,1)=0$ , $f(\frac12,\frac12)=\frac14$ . Lo mismo ocurre con su ejemplo concreto si considera una línea que pasa por $x=c$ y $y=c$ en diferentes "momentos".