Cada "histograma de ocupación" corresponde a un $n$ -que se traduce geométricamente en un punto en el ${\mathbb N}^n$ espacio, es decir, en la parte no negativa de un $n$ -de la cuadrícula.
Cuando el número de bolas es fijo (permítanme indicarlo con $s$ , para reservar $k$ para utilizarlo como índice), los puntos se situarán en el plano diagonal $x_1+x_2+ \cdots +x_n=s$ .
Si la capacidad de cada contenedor es ilimitada, o sin embargo superior al número de bolas, el plano se extenderá sobre toda la parte no negativa, y su "área" será igual al número de composiciones débiles de $s$ en $n$ partes, es decir $$ N_b(s,n) = \binom{s+n-1}{s} $$
Si la capacidad de cada contenedor es constante e igual a $r$ entonces el avión estará limitado dentro de a $n$ -cubo con lados $[0,r]$ y el área interceptada será $$ N_b (s,r,n) = {\rm No}{\rm .}\,{\rm of}\,{\rm solutions}\,{\rm to}\;\left\{ \matrix{ {\rm 0} \le {\rm integer}\;x_{\,j} \le r \hfill \cr x_{\,1} + x_{\,2} + \; \cdots \; + x_{\,n} = s \hfill \cr} \right. $$ que, como se explica en este post relacionado viene dada por $$ N_b (s,r,n)\quad \left| {\;0 \leqslant \text{integers }s,n,r} \right.\quad = \sum\limits_{\left( {0\, \leqslant } \right)\,\,k\,\,\left( { \leqslant \,\frac{s}{r+1}\, \leqslant \,n} \right)} {\left( { - 1} \right)^k \binom{n}{k} \binom { s + n - 1 - k\left( {r + 1} \right) } { s - k\left( {r + 1} \right)}\ } $$
Si la capacidad de cada contenedor es diferente, entonces el plano está limitado dentro de un $n$ -paralelepípedo con lados $[0,r_k]$ y una expresión cerrada para el área interceptada sería en general bastante complicada.
Pretendiendo lo anterior, tenemos entonces que dejar claro que el proceso de "vertiendo" las bolas es diferente a la de "lanzando" las bolas en la papelera.
Aunque podemos entender el "vertido" como el proceso en el que cada punto ( $n$ -) es equiprobable, en "tirar" se entiende normalmente que tenemos $n^s$ resultados equi-probables (para una capacidad ilimitada) que no es lo mismo que la $N_B(s,n)$ dado arriba.
Esto se debe a que el proceso de lanzamiento, implica una sucesión y por tanto una distinción entre las bolas dada por el orden en que se lanzan. Puede convencerse de la diferencia tomando ejemplos con un pequeño número de recipientes y bolas.
El proceso de lanzamiento se examinará a través del desarrollo de Stirling de $n^s$ $$ n^{\,s} = \sum\limits_k {\left\{ \matrix{ s \cr k \cr} \right\}n^{\,\underline {\,k\,} } } = \sum\limits_k {k!\left\{ \matrix{ s \cr k \cr} \right\}\left( \matrix{ n \cr k \cr} \right)} $$ es decir, a través del número de formas de dividir un conjunto de $s$ elementos en $k$ subconjuntos no vacíos, y distribuir el $k$ subconjuntos en el $n$ contenedores.
El enfoque multinomial $$ \begin{array}{l} \left( {x_{\,1} + x_{\,2} + \cdots + x_{\,n} } \right)^{\,s} = \cdots + x_{\,l_{\,1} } x_{\,l_{\,2} } \cdots x_{\,l_{\,s} } + \cdots \quad \left| {\;\,l_{\,j} \in \left[ {1,n} \right]} \right. = \\ = \sum\limits_{\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0\, \le \,j_{\,l} } \\ {j_{\,1} + \,j_{\,2} + \, \cdots + \,j_{\,n} \, = \,s} \\ \end{array}} \right.\;} {\left( \begin{array}{c} s \\ j_{\,1} ,\,j_{\,2} ,\, \cdots ,\,j_{\,n} \\ \end{array} \right)\;x_{\,1} ^{j_{\,1} } \;x_{\,2} ^{j_{\,2} } \; \cdots \;x_{\,n} ^{j_{\,n} } } \\ \end{array} $$ también capta el proceso de "lanzamiento": $$ x_{\,l_{\,1} } x_{\,l_{\,2} } \cdots x_{\,l_{\,s} } $$ está de hecho para la primera bola en la papelera $l_1$ .., s-ésima bola en la papelera $l_s$ .
Eso es más "recto" para tratar cuando se fijan los límites superiores a la $j_k$ índices.
En el caso ilimitado es equivalente al desarrollo de Stirling, ya que $$ n!\left\{ \begin{array}{c} s \\ n \\ \end{array} \right\} = \sum\limits_{\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1\, \le \,j_{\,l} } \\ {j_{\,1} + \,j_{\,2} + \, \cdots + \,j_{\,n} \, = \,s} \\ \end{array}} \right.\;} {\left( \begin{array}{c} s \\ j_{\,1} ,\,j_{\,2} ,\, \cdots ,\,j_{\,n} \\ \end{array} \right)\;} $$
