Hace tiempo leí sobre dados no transitivos - conjuntos de dados en los que "tiene más probabilidades de sacar un número mayor que" no es una relación transitiva. Cuando se me pasó la sorpresa, me pregunté: ¿hasta dónde se puede llevar este fenómeno? La página de Wikipedia enlazada tiene una sección llamada "Investigación de Freivald" que afirma que si $n$ Los dados están dispuestos en un círculo, cada uno con una probabilidad $p$ de ser mayor que el siguiente en la fila, entonces $p<3/4$ (con $p$ de otro modo se permite cerrar arbitrariamente). Sin embargo, tiene la infame etiqueta de [cita requerida] y no he podido encontrar ninguna referencia. Pero es posible una pregunta mucho más general.
Si tenemos $n$ variables aleatorias, todas independientes, etiquetadas $1,2,\dots, n$ y denotamos por $p_k$ la probabilidad $P(X_k > X_{k+1})$ (con el índice $n+1$ se desplazó en bicicleta hasta $1$ ), entonces podemos hablar del vector $\vec{p}=(p_1,\dots,p_n)\in(0,1)^n$ . Esto plantea la pregunta: ¿cuál es la forma del espacio $V \subset (0,1)^n$ de todos los posibles $\vec{p}$ 's? En particular, creo que podría haber una función simétrica tal que $V$ es la región delimitada por los conjuntos de niveles de $f(\vec{x})$ y $f(\vec{1}-\vec{x})$ para algunos $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ pero no estoy seguro, y por supuesto parece que sería imposible encontrar tal $f$ explícitamente. (Además, no estoy seguro de si la respuesta sería diferente para situaciones continuas y discretas, o en casos mixtos, pero todas las combinaciones suenan interesantes).
