¿Cuáles son los ejemplos de parallelizable complejo de variedades proyectivas?

Question

Un suave compleja variedad proyectiva es el cero, el locus, el interior de algunas de $\mathbb{CP}^n$, de algunos de la familia de polinomios homogéneos en $n+1$ variables de la satisfacción de un cierto número de condiciones que no voy a detallar. Es una variedad diferenciable. Un parallelizable colector es un (diferenciable) colector con un trivial tangente paquete, es decir, $TM \cong M \times \mathbb{R}^n$ (lo que es equivalente, un colector de dimensión $n$ es parallelizable si se admite $n$ campos vectoriales que en todas partes son linealmente independientes).

Siendo una variedad proyectiva es un algebro-geométrico condición, considerando que la parallelizable es más de un algebro-topológica de la condición. Me gustaría saber cómo los dos interactúan. Por ejemplo, según la Wikipedia, algunos complejos tori son proyectivos. Pero como se encuentran todos los grupos, un complejo de toro es parallelizable.

¿Cuáles son otros ejemplos de lisa complejo de variedades proyectivas que se parallelizable?

Answer 1

En Najib Idrissi la petición, aquí es una respuesta a una pregunta diferente:

Teorema: la única Kaehler colectores que son holomorphically parallelisable son complejos de tori.

Referencia:

Wang, Hsien-Chung. Complejo parallisable colectores. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 5 (1954), 771-776.

Edit: OK, aquí está una manera de conseguir una familia de ejemplos que contienen las dadas por Michael Albanese.

Proposición: Si $M$ es un parallelisable (real) del colector de dimensión $d \geq 1$, e $C$ es cualquier orientable (real) de la superficie, a continuación, $M \times C$ es parallelisable.

Prueba: $C$ incrusta en $\mathbf R^3$, así (por ejemplo, pensando hacia el exterior de la unidad vector normal) vemos que la tangente paquete de $C$ se ha trivializado por la adición de una copia de la trivial paquete de más de $C$: $$TC \oplus \mathbf R_C = \mathbf R^3_C.$$ Ahora la tangente paquete de $M \times C$$\pi_1^* TM \oplus \pi_2^* TC$, que por hipótesis es $$\pi_1^* \mathbf R_M^d \oplus \pi_2^* TC = \mathbf R_{M\times C}^{d-1} \oplus \pi_2^* (T_C \oplus \mathbf R_C) = \mathbf R_{M\times C}^{d+2}. \quad \square$$

Corolario: Cualquier complejo colector de la forma $A \times C_1 \times \cdots \times C_n$ donde $A$ es un complejo toro de dimensión positiva y el $C_i$ son superficies de Riemann es parallelisable.

Prueba de Corolario: Como el OP comentó, $A$ es parallelisable. Ahora aplicar la Proposición $n$ veces. $\square$

Answer 2

Aquí es un pequeño, más bien insatisfactorio colección de ejemplos que se deriven de la siguiente resultado:

Una (no trivial) producto de las esferas es parallelizable si y sólo si al menos una de las esferas es extraño-dimensional.

Uno puede preguntar si cualquiera de estos productos puede dar una estructura compleja que se hace proyectiva. En primer lugar, un colector sería Kähler y, por tanto, simpléctica. Teniendo en cuenta la cohomology anillo de este tipo de producto, podemos ver que las únicas posibilidades son $(S^1)^{2m}\times(S^2)^k$$m > 0$. Estos espacios tienen muchas proyectiva de estructuras complejas. Para $n = 0$, se obtiene el proyectiva tori que ya se ha mencionado, junto con sus productos. Para $n > 0$, obtenemos el producto de un número distinto de cero algebraico de tori con $n$ copias de $\mathbb{CP}^1$.