¿Cuál es el tamaño del triángulo más pequeño inscrito en un cuadrado?

Question

Un cuadrado está dividido en 7 áreas como se muestra en la figura. Los puntos muestran las esquinas del cuadrado y los puntos centrales de los bordes.

Cómo de grande es la fracción del área $D$ ¿y cómo lo resuelvo?

He intentado utilizar la trigonometría para calcular el área A. Si decimos que cada lado del cuadrado es $1$ y mira el triángulo $ABC$ usando Pitágoras, su hipotenusa debe ser $ \sqrt {1 \cdot 1 + 0.5 \cdot 0.5} = 1.118$ .

Entonces, utilizando la relación del seno vemos que el $ \hat A$ es $\sin A = 1/1.118 = 63.43°$ . Entonces se deduce que los otros ángulos deben ser $90°$ y $71.57°$ . Si utilizo la fórmula de Heron puedo calcular el área de $A = \sqrt {p(pa)(pb)(pc)} = \frac 1 {12}$ . Lo sé. $C$ es $ \frac1 {16}$ sólo con mirar la figura. El área de $ABC$ es $ \frac 1 4 $ Así que $B$ debe ser $\frac 1 4 - C - A = \frac 5 {48}$ . Ahora el área de $BD$ debe ser $ \frac 1 8$ . Por lo tanto, se deduce que $D = \frac 1 8 - \frac 5 {48} = \frac 1 {48}$ .

La parte de la trigonometría parece demasiado elaborada, y me preguntaba si hay una solución mucho más sencilla que me estoy perdiendo.

Answer 1

La base de $D$ es $\dfrac14$ .

La altura de $A$ es $\dfrac13$ .

La altura de $D$ es $\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16$ .

El área de $D$ es $\dfrac12\times\dfrac14\times\dfrac16=\dfrac1{48}$ .

Answer 2

Alternativamente, podemos encontrar que el triángulo que contiene $D$ y $E$ tiene una base de $1$ y una altura de $\frac{2}{3}$ (obtenido resolviendo $1-x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x$ ), por lo que tiene una superficie de $\frac{1}{2} \times 1 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ .

La altura de $D$ es $\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ , por lo que los lados son $\frac{1}{4}$ del gran triángulo. Como los triángulos $D$ y $D + E$ son similares por AA, el área de $D$ es $\frac{1}{16}$ veces más pequeño. Esto da el área del triángulo $D$ comme $\frac{1}{3} \times \frac{1}{16} = \frac{1}{48}$ .

Answer 3

La geometría de coordenadas también puede calcular el área $D$ . Si la esquina inferior izquierda está en el origen, y el cuadrado tiene una longitud de lado de $1$ las ecuaciones de las tres líneas son:

$$y = 1-x \tag{1}$$ $$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x \tag{2}$$ $$x = \frac{1}{2} \tag{3}$$

Resolver $(1) = (2)$ da el punto $\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)$ , resolviendo $(2) = (3)$ da $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right)$ y resolver $(3) = (1)$ da $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ .

Entonces el área del triángulo es $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$ :

$$\frac{1}{2} \times \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right) \times \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) $$ $$=\frac{1}{48}$$

Answer 4

He aquí una solución a partir de razones geométricas. Los triángulos semejantes conducen a $\frac{OZ}{XT}=\frac{XY}{YW}=\frac12$ . Entonces,

$$D = \frac{OZ^2}{XT^2} A = \frac14\cdot \frac{XY}{XW} \cdot (A+B+C) = \frac14\cdot\frac13\cdot \frac14 = \frac1{48}$$