¿Sería más sencillo considerar sólo el segundo hamiltoniano con la condición inicial adecuada? Como condición inicial, estoy imaginando alguna amplitud no nula de $0$ a $L$ y la amplitud cero de $L$ a $2L$ . Eso sería consistente con que la partícula haya estado confinada en el pozo más estrecho antes del tiempo $t=0$ . ¿Es la función de onda, tal como la has escrito, consistente con la condición de que la función de onda es inicialmente distinta de cero sólo en un intervalo que es $L$ ¿Ancho? No estoy seguro de lo que su " $\pm$ " significa en su expresión para $c_n$ pero me parece que la función de onda se extiende por toda la $2L$ intervalo en $t=0$ . Además, los factores exponenciales no deberían ser $\exp(-i(n^{2}\pi^{2}\hbar/8mL^{2})t)$ , consistente con un pozo de anchura $2L$ ?
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Para que quede claro, el hamiltoniano podría escribirse como una única expresión que incluya funciones escalonadas del tiempo. Se suele decir que un sistema dependiente del tiempo no tiene funciones propias ni valores propios. Existen varios enfoques para tratar los hamiltonianos dependientes del tiempo. Para predecir lo que ocurre después de que el pozo de potencial cambie repentinamente de la anchura L a la anchura 2L, un enfoque consiste en considerar un primer hamiltoniano independiente del tiempo que actúa hasta el tiempo $t=0$ y un segundo hamiltoniano independiente del tiempo que actúa después de ese tiempo. El primer hamiltoniano se considera sólo en la medida en que se requiere para determinar las condiciones iniciales para predecir la dinámica después del tiempo $t=0$ .
El primer hamiltoniano, $H_1$ y sus funciones propias
El primer hamiltoniano es $H_1=\hat{p}^2/2m+V_1(x)$ donde $V_1(x)=0$ en el intervalo $[0,L]$ e infinito en todo lo demás. La energía potencial infinita sólo significa que la probabilidad de encontrar la partícula en esa región es cero. Las funciones propias normalizadas son $u_j(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(j \pi x/L)$ en el intervalo $[0,L]$ y $u_j(x)=0$ en todos los demás lugares. Esto asegura la probabilidad de encontrar la partícula fuera del intervalo $[0,L]$ es cero. También significa que la función de onda es cero fuera del intervalo $[0,L]$ . Existe una discontinuidad en la pendiente de las funciones propias en 0 y en L. Esto se suele aceptar haciendo una analogía con una pared rígida clásica.
Valor esperado de $H_1$
Cálculo de $\langle H_1\rangle$ es complicado, debido a la función potencial infinita. No conozco un argumento matemático para decir $\int u^*_j(x)V_1(x)u_j(x) dx =0$ pero físicamente la integral es cero porque no hay ninguna función de onda fuera del intervalo $[0,L]$ y $V_1(x)$ es cero cuando hay una función de onda. Excepto por esta cuestión, es sencillo demostrar $\langle H_1 \rangle=\Sigma_{j=1}^{\infty}|a_{j}|^{2}\epsilon_{j}$ donde $\epsilon_j=j^2\pi ^2 \hbar ^2/2mL^2$ y $\psi (x)=\Sigma_{j=1}^{\infty} a_{j}u_j(x)$ .
El segundo hamiltoniano, $H_2$ y sus funciones propias
El segundo hamiltoniano es $H_2=\hat{p}^2/2m+V_2(x)$ donde $V_2(x)=0$ en el intervalo $[0,2L]$ e infinito en otros lugares. Las funciones propias normalizadas son $w_n(x)=\sqrt{\frac{1}{L}}\sin(n \pi x/2L)$ en el intervalo $[0,2L]$ y $w_n(x)=0$ en todos los demás lugares. Los valores propios son $E_n=n^2\pi ^2 \hbar ^2/8mL^2$
Nótese que las funciones propias $w_n(x)$ de $H_2$ no se puede ampliar en términos de $u_j(x)$ porque el $u_j(x)$ son cero en el intervalo $[L,2L]$ . Salvo los detalles habituales, es posible ampliar el $u_j(x)$ en términos de $w_n(x)$ 's.
Un detalle es la continuidad de $\hat{p}\psi(x)$ en $x=L$ y en $x=2L$ . Con el primer hamiltoniano el momento era discontinuo en $x=L$ , consistente con el punto de inflexión clásico. Con el segundo hamiltoniano, no debería haber ningún punto de inflexión en $x=L$ . Es decir, el impulso debe ser continuo allí.
La función de onda en el segundo pozo de potencial
Si la función de onda es $\psi (x,0)=\Sigma_{j=1}^{\infty} a_{j}u_j(x)$ en $t=0$ la función de onda en el segundo pozo de potencial evolucionará según $\psi (x,t)=\Sigma_{n=1}^{\infty} b_{n}w_n(x)\exp(-iE_nt/\hbar)$ para $t>0$ donde el $b_n$ están por determinar. La derivación de una expresión para el $b_n$ en términos de $a_n$ es así: $$ \psi (x,0)=\Sigma_{n=1}^{\infty} b_{n}w_n(x)=\Sigma_{j=1}^{\infty} a_{j}u_j(x)$$ $$ \Sigma_{n=1}^{\infty} b_{n}w_k^*(x)w_n(x)=\Sigma_{j=1}^{\infty} a_{j}w_k^*(x)u_j(x) $$ $$ b_{k}=\Sigma_{j=1}^{\infty} a_{j}\int_{-\infty}^{\infty}w_k^*(x)u_j(x)dx $$ $$ b_{k}=\Sigma_{j=1}^{\infty} a_{j}\int_{0}^{L}w_k^*(x)u_j(x)dx $$ Obsérvese que la integración sólo va de cero a L porque el $u_j(x)$ son cero en todos los demás lugares.
Un ejemplo sencillo
Por ejemplo, si una partícula en un pozo cuadrado infinito de ancho 2L con hamiltoniano $H_2$ de alguna manera comienza con una función de onda $\psi(t,0)=u_1(x)$ entonces $$ b_n=\frac{4 \sqrt{2}\sin(n\pi /2)}{(4-n^2)\pi}, n=1,2,3,5,7,... $$ $$b_k=0, k=4,6,8,10,...$$ La partícula no está en un estado propio de energía. Nótese que en este ejemplo no estoy diciendo que la partícula haya empezado en un pozo estrecho o que haya dos hamiltonianos, sino que estoy diciendo que estos resultados son los mismos que en el problema original con el hamiltoniano dependiente del tiempo.
Cuál es el valor esperado $\langle H_2 \rangle$ ? Es sencillo mostrar $$\langle H_2 \rangle=\frac{\hbar^2 \pi^2}{8mL^2}\Sigma_{n=1}^{\infty}n^2 \left| b_n\right|^2=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}=\epsilon_1 $$ Usé Mathematica para hacer las integrales y derivar que el $n^2 \left| b_n \right| ^2$ suman todos 4. Esto demuestra que el valor esperado de la energía es igual al valor propio de $H_1$ actuando sobre $u_1(x)$ como se esperaba. Sin embargo, esto es sólo un valor esperado. No es "la energía", ya que una partícula con esa condición inicial no tiene una energía definida en este pozo cuadrado.
Parece que la diferencia entre este resultado y el tuyo está en $b_2=1/\sqrt{2}$ . Dejando eso $2^2b_2^2$ de la suma reduce la suma en un factor de 2, por lo que su resultado era demasiado pequeño en un factor de 2.
