Incrustación, difeomorfismo local y teorema de inmersión local.

Question

Supongamos que $f: M \to N$ es suave y una inmersión, es decir $df_p : T_p(M) \to T_p(N)$ es uno a uno. Como $f$ es una inmersión, tenemos el siguiente teorema,

$\textbf{Local Immersion Theorem:}$ Supongamos que $f: M \to N$ es una inmersión en $x$ . Sea $y=f(x)$ . Entonces existen coordenadas locales alrededor de $x$ y $y$ tal que $$ f(x_1, x_2, \dots, x_k) = (x_1, x_2, \dots, x_k, 0, \dots, 0 )$$

En otras palabras, $f$ es un localmente uno a uno, y por lo tanto una incrustación localmente. ¿Implica esto que $f$ es un difeomorfismo local?

Busco una respuesta a la relación entre los tres conceptos: teorema de inmersión local, incrustación local y difeomorfismo local.

Sé que se han hecho preguntas similares, pero en circunstancias más específicas

Answer 1

¡Cielos, no! El diferencial $df$ mapas de un $k$ -espacio vectorial de dimensiones a un $n>k$ espacio vectorial dimensional. No puede ser un isomorfismo.

Sin embargo, por la condición de coordenadas locales que has impuesto, la diferencial es de rango completo, y así $f$ es un difeomorfismo local en su imagen.

Answer 2

Vea estos:

¿Qué pasa si se señalan errores potenciales en una respuesta en los comentarios pero no se abordan?

¿Qué es/son las definiciones de difeomorfismo local sobre imagen?

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Neal dice aquí que las inmersiones son "difeomorfismos locales sobre imágenes". Si leemos "difeomorfismos locales sobre imágenes" como "difeomorfismos locales sobre imágenes" en lugar de "difeomorfismos locales sobre imágenes", entonces esto es correcto porque los difeomorfismos sobre imágenes (submanifoldes) son equivalente a las incrustaciones y porque las inmersiones son equivalentes a las incrustaciones locales.

Sin embargo, los "(difeomorfismos locales)-imágenes" implican que las imágenes son submanifolds regulares/incorporados y no sólo submanifolds inmersos. Por lo tanto, Neal se equivoca si afirma que las inmersiones son "(difeomorfismos locales)-sobre imágenes".

Por lo tanto, leyendo "difeomorfismos locales sobre imágenes" como "difeomorfismos locales sobre imágenes", tenemos

$$\text{local diffeomorphism} \implies \text{local diffeomorphism onto image} \implies \text{immersion and image is submanifold} \implies \text{immersion} \iff \text{local embedding}$$

Estas son las definiciones:

Dejemos que $X$ y $Y$ sean variedades suaves con dimensiones .

• Difeomorfismo local:

  Un mapa $f:X\to Y$ , es un difeomorfismo local si para cada punto x de X existe un conjunto abierto $U$ que contiene $x$ , de tal manera que $f(U)$ es un submanifold con dimensión de $Y$ , $f|_{U}:U\to Y$ es una incrustación y $f(U)$ está abierto en $Y$ . (Así que $f(U)$ es un submanifold de codimensión 0).

• Difeomorfismo local sobre la imagen:

  Un mapa $f:X\to Y$ , es un difeomorfismo local en la imagen si para cada punto x de X existe un conjunto abierto $U$ que contiene $x$ , de tal manera que $f(U)$ es un submanifold con dimensión de $Y$ , $f|_{U}:U\to Y$ es una incrustación y $f(U)$ está abierto en $f(X)$ . (Esto no dice nada sobre $f(X)$ explícitamente, pero resultará $f(X)$ como $f(U)$ es un submanifold de $Y$ .)

• Incrustación/Imersión local:

  Un mapa $f:X\to Y$ , es un incrustación local /una inmersión, si para cada punto x en X, existe un conjunto abierto $U$ que contiene $x$ , de tal manera que $f(U)$ es un submanifold de $Y$ con dimensión y $f|_{U}:U\to Y$ es una incrustación. (Esto no dice nada sobre $f(X)$ explícitamente, pero resultará $f(X)$ como $f(U)$ es un submanifold inmerso de $Y$ . Sin embargo, $f(X)$ A diferencia de $f(U)$ no es necesariamente un submanifold regular/empotrado de $Y$ .)

La diferencia en todos estos 3 es lo que $f(U)$ es. En todos los casos, $f(U)$ es un submanifold de $Y$ Así que, efectivamente, todavía se obtiene un "difeomorfismo" de una inmersión.

Obsérvese que mientras que el difeomorfismo local implica la inmersión pero no a la inversa, los difeomorfismos locales son equivalentes a las inmersiones abiertas, a las inmersiones cuyo dominio y rango tienen iguales dimensiones y a las inmersiones que también son inmersiones (las inmersiones son mapas abiertos).