Determinar el grado de extensión de un campo

Question

Tengo que determinar el grado de $\mathbb{Q}\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right)$ en $\mathbb{Q}$ y demostrar que $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ es una primitiva elemento primitivo? ¿Podría alguien darme alguna pista sobre cómo hacerlo ?

Answer 1

Claramente $[\mathbb Q(\sqrt 2):\mathbb Q]\le 2$ debido al polinomio $X^2-2$ y $[\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3):\mathbb Q(\sqrt 2)]\le 2$ debido al poylnomio $X^2-3$ . De hecho, $\sqrt 2\notin \mathbb Q$ implica $[\mathbb Q(\sqrt 2):\mathbb Q]=2$ . También tenemos $\sqrt 3\notin \mathbb Q(\sqrt 2)$ porque $(a+b\sqrt 2)^2 = 3$ implica $(a^2+2b^2) + 2ab\sqrt 2 = 3$ Por lo tanto $2ab = 0$ y $a^2+2b^2=3$ por lo tanto, o bien $a=0$ y $b^2=\frac 32$ o $b=0$ y $a^2=3$ . Pero ambos $\sqrt{\frac32}$ y $\sqrt 3$ son irracionales. Por lo tanto, $[\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3):\mathbb Q(\sqrt 2)]=2$ y finalmente $$[\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3):\mathbb Q]=4.$$

En cuanto a la segunda parte, hay que tener en cuenta que $\mathbb Q(\sqrt 2+\sqrt 3)$ contiene $(\sqrt 2+\sqrt 3)^2=2+2\sqrt 6+3$ Por lo tanto, también $\sqrt 6$ y $\sqrt6(\sqrt 2+\sqrt 3)=2\sqrt 3+3\sqrt 2$ y, por último, ambos $3(\sqrt2+\sqrt 3)-(2\sqrt 3+3\sqrt 2)=\sqrt 2$ y $(2\sqrt 3+3\sqrt 2)-2(\sqrt2+\sqrt 3)=\sqrt 3$ .

Answer 2

$$x=\sqrt 2+\sqrt 3\Longrightarrow x^2-2\sqrt 2\,x+2=3\Longrightarrow x^4-2x^2+1=8x^2\Longrightarrow$$

$$\Longrightarrow x^4-10x^2+1=0$$

¿Puedes demostrar ahora el polinomio $\,t^4-10t^2+1\in\Bbb Q[t]\,$ es irreducible?