Me gustaría añadir más información que coincide con la respuesta de Zhen, pero con hipótesis ligeramente diferentes.
Propuesta: Si $C$ es cocompleta y una mónada $T$ en $C$ preserva los coigualadores reflexivos, entonces la categoría de álgebras $C^T$ es cocompleto.
En efecto, el funtor de olvido $U: C^T \to C$ preserva y refleja cualquier clase de colímite que $T$ conserva, por lo que si $T$ preserva los coequivalentes reflexivos y $C$ los tiene, entonces también lo hará $C^T$ . Como dijo Zhen, podemos obtener coigualadores generales en $C^T$ si $C^T$ tiene coproductos binarios y coigualadores reflexivos, pero resulta que esto se deduce de $C^T$ que tienen coequivalentes reflexivos y $C$ que tienen coproductos binarios. Ver los argumentos presentados aquí para más detalles. Véase, en particular, el teorema 1 y el segundo corolario que figura a continuación.
En el caso de que tu mónada sea finita (preserva los colímites filtrados), esto podría ser útil:
Propuesta: Si $C$ es completa y cocompleta y $T$ es una mónada finita, entonces $C^T$ tiene coigualadores (y por tanto también es completa y cocompleta).
Véase Barr y Wells, Topos, teorías y triples , p. 267 (teorema 3.9) para un enunciado algo más nítido.
Por ejemplo, si los productos en $C$ distribuyen sobre colimits (como lo hacen en la categoría de posets acotados), y su mónada proviene de una teoría de Lawvere finitaria $T$ Esta proposición se aplicaría. Véase también este Respuesta de MO y esto página del ncatlab escrito en apoyo de esa respuesta.
