El proceso estocástico, gaussiano, con media cero es un proceso de Wiener

Question

Dejemos que $(\Omega, \mathcal F , \mathbb P)$ sea un espacio de probabilidad y que $\mathcal F = \{\mathcal F_t\}_{t\ge} $ a ltración. Sea $W=\{W_t;t 0\}$ sea un proceso estocástico adaptado a $\mathcal F$ . Supongamos que W es un proceso gaussiano de media cero con función de covarianza $$E(W_s W_t) = \min(s, t), \quad s,t [0, ).$$ Demuestra que W es un proceso Wiener estándar.

En otras palabras, tengo que demostrar que se cumplen las siguientes condiciones:

1. $W_0=0$
2. $W_t-W_s$ es gaussiano con media cero y $Var=|t-s|$
3. incrementos de W correspondientes a intervalos de tiempo no superpuestos son independientes

Answer 1

Consejos

1. Elija $t=s=0$ en $\mathbb{E}(W_s \cdot W_t) = \min\{s,t\}$ . (Tenga en cuenta que $N(0,0)$ equivale -por definición- a $\delta_0$ .)
2. Dejemos que $s<t$ . Por supuesto, el vector aleatorio $X:=(W_s,W_t)$ es gaussiano con media $0$ y la matriz de covarianza $$C:=\begin{pmatrix} s & s \\ s & t \end{pmatrix}$$ Desde $X$ es gaussiano, sabemos que $\ell^T \cdot X = \ell_1 \cdot W_s+\ell_2 \cdot W_t$ es gaussiano para $\ell \in \mathbb{R}^2$ . Existen fórmulas conocidas para calcular la media y la varianza de $\ell^T \cdot X$ . Encuentre un $\ell$ .
3. Dejemos que $0:=t_0 < t_1 < \ldots < t_n$ . Tenga en cuenta que $$\Delta := \begin{pmatrix} W_{t_1}-W_{t_0} \\ \vdots \\ W_{t_n}-W_{t_{n-1}} \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 &\ldots & 0 \\ 0 &-1 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & & \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & 1 \end{pmatrix}}_{=:M} \cdot \begin{pmatrix} W_{t_0} \\ \vdots \\ W_{t_n} \end{pmatrix}$$ Desde $(W_{t_0},\ldots,W_{t_n})$ es gaussiano, por supuesto, concluimos que $\Delta$ es gaussiano. Por lo tanto, basta con demostrar que la matriz de covarianza de $\Delta$ es una matriz diagonal. De nuevo, existen fórmulas conocidas para calcular la matriz de covarianza de un transformación lineal de un vector aleatorio gaussiano .

Nota: En general, se requiere que los caminos $t \mapsto W(t,w)$ son continuas para casi todos los $w$ . El teorema de Kolmogorov-Chentsov muestra que, bajo los supuestos dados, existe siempre una modificación $(\tilde{W}_t)_t$ del proceso $(W_t)_t$ de manera que las trayectorias de la muestra $t \mapsto \tilde{W}(t,w)$ son continuos casi con seguridad.