Dejemos que $G$ sea un grupo simple tal que $|G|=p^2q r$ ( $p$ y $q$ son números primos distintos, $r$ algún número entero positivo) entonces cómo demostrar $G$ y $A_5$ son isomorfos o ( $|G|=60$ )?
Gracias de antemano
Respuesta
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Aquí hay una solución que hace uso repetido del Teorema de la Transferencia de Burnside (o BTT para abreviar), que podemos tomar como:
Teorema : Si un subgrupo Sylow es central en su normalizador, entonces el grupo $G$ no es sencillo.
Porque los grupos de orden $l$ ou $l^2$ (aquí $l$ es un primo) son siempre abelianos, podemos utilizar la siguiente forma de BTT para esta cuestión:
El normalizador de un subgrupo Sylow en $G$ no puede ser abeliana.
Bien, ahora vayamos al grano.
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Primero, contemos el número de Sylow $p$ -subgrupos. No puede haber $qr$ de ellos, ya que eso contradice la BTT. También es evidente que no puede haber $1$ de ellos. Así que hay, digamos, $r$ de ellos. [En este punto, $q$ y $r$ son indistinguibles]. Entonces, si $P$ es un Sylow $p$ -subgrupo, $N_G(P)$ tiene índice $r$ en $G$ . La acción de conjugación de $G$ en el Sylow $p$ -subgrupos incrustados $G$ en $A_r$ y por lo tanto $p^2q$ divide $(r-1)!$ . En otras palabras, $r$ es el mayor primo que divide a $G$ .
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Ahora vamos a mostrar $p<q$ . Si no, entonces $q$ sería el primo más pequeño que divide a $|G|$ . Tendríamos así, para un Sylow $q$ -subgrupo $Q$ , $|N_G(Q)/C_G(Q)|$ dividiendo ambos $q-1$ y $p^2r$ Esto significa $|N_G(Q)/C_G(Q)|=1$ o en otras palabras, $Q$ es fundamental en $N_G(Q)$ . Una vez más, una contradicción de BTT; así que $p<q$ .
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Supongamos ahora que $Q$ es un Sylow $q$ -subgrupo en $N_G(P)$ . Si $Q$ era normal en $N_G(P)$ Tendríamos $N_G(P)=P\times Q$ un grupo abeliano, contradiciendo la BTT. Así que, en su lugar, hay $p^2$ Sylow $q$ -subgrupos en $N_G(P)$ y por lo tanto $q$ divide $p^2-1$ . Desde $p<q$ Esto significa que $q=p+1$ . Esto sólo es posible si $p=2$ , $q=3$ .
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Por último, contemos el Sylow $r$ -subgrupos. Por BTT, no puede haber $p^2q$ de ellos. Desde $r$ es mayor que $p$ y $q$ no puede haber $p$ ou $q$ de ellos. Así, hay $pq$ Sylow $r$ -subgrupos. Esto significa que $r$ divide $pq-1=2\cdot3-1=5$ y así $r=5$ .
A continuación, hemos demostrado que $|G|=2^2\cdot3\cdot5=60$ .
