En la forma decimal de un número irracional como: $$\pi=3.141592653589\ldots$$ Tenemos todos los números de $0$$9$. He verificado $\pi$ y todos los números están ahí. Esto es cierto en general para los números irracionales ?
En otras palabras, para un número irracional $$x=\sum_{n\in \mathbb{Z}} a_n 10^n$$
Qué $a_n$ se lleva todos los números entre el$0$$9$ ?
"Casi" todo número real tiene cada dígito de$0$$9$, en el sentido de que el conjunto de los números reales que no tiene medida de Lebesgue $0$.
Para demostrar esto, basta (contables aditividad de la medida) para mostrar que el conjunto de los números reales entre 0 y 1 que no contienen cada dígito tiene medida cero. A su vez, es suficiente por la aditividad de la medida para mostrar que el conjunto de los números reales entre 0 y 1 con el no $9$s tiene una medida de $0$. Llamar a este conjunto de $S$.
Considere la posibilidad de una expansión decimal $0.a_1a_2a_3 \ldots$. El conjunto de los números reales para los cuales $a_1, a_2, a_3, \ldots , a_{k-1} \ne 9$$a_k = 9$, se $E_k$, es medible y tiene una medida de exactamente $9^{k-1} \cdot \frac{1}{10^k}$. Un número real tiene el dígito $9$ en esta expansión decimal si y sólo si no es en $E_k$ cualquier $k$, y el $E_k$ son disjuntas. Por lo tanto, $$ \mu([0,1] \setminus S) = \mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k \right) = \sum_{k=1}^\infty \mu(E_k) = \sum_{k=1}^\infty \frac{9^{k-1} }{10^k} = 1 $$ y $S$ tiene una medida de $0$ como se desee.
Usted pregunta si la propiedad que usted describe es cierto ", en general, para los números irracionales". La frase puede significar "todos los números irracionales", o "la mayoría de los números irracionales". Debido a que usted ha aceptado Geoffrey la respuesta de "por supuesto que no...", supongo que te refieres a "todos".
Sin embargo, para ser claros, quiero dar tratamiento a "la mayoría" porque la respuesta a esa pregunta es "Sí..."
Considere la posibilidad de un número irracional como
$$x = 0.1280451740318436570487162...$$
que no contiene 9s. Vamos a llamar a esos números de 9 menos. A partir de este número único, muchos de 9completo irrationals puede ser creado simplemente por la inserción de las 9s en varios lugares.
$x$ es no termina. Por lo tanto, hay una infinidad de posibles puntos de inserción, lo que significa que una infinitud del 9-completo irrationals puede ser generada de esta manera. (De hecho, se puede demostrar que el conjunto es incontable.)
Cada 9 de-menos irracional genera un distinto conjunto infinito de 9-completo irrationals. Por lo tanto, la proporción de 9-menos irrationals 9-completo irrationals es cero.
Cada número irracional es de 9-menos o 9-completo, pero no tanto, así que casi todos los números irracionales son de 9 por completo.
Addendum:
Como se encuentra en el artículo de la Wikipedia, "casi todos" tiene varios usos diferentes. En este caso, es decir, el 9 de menos de números tiene medida de Lebesgue 0. En otras palabras, se trata de "espolvoreado" entre el irrationals, no hay dos "tocar". También significa que si usted elige un número irracional al azar (a partir de un número finito de intervalos), tiene probabilidad 0 de 9 de menos, y probabilidad 1 de 9-completo. Esto es a pesar del hecho de que ambos conjuntos tienen el mismo tamaño, o cardinalidad. Tal es la rareza de los infinitos.
Más addendum:
Hay otra prueba de esto que implican la probabilidad de selección de una secuencia infinita de dígitos al azar y nunca llegar a un 9.
Esto le da una buena oportunidad para utilizar la cardinalidad de los argumentos para demostrar que la respuesta es negativa.
Elige dos dígitos $n,k$ tal que $\{n,k\}\neq\{0,9\}$. Hay un bijection entre los números en $[0,1]$, cuya forma decimal sólo incluye a $n$$k$, y el conjunto de las infinitas secuencias binarias.
Por lo tanto, el conjunto de $\{x\in[0,1]\mid x\text{ has only }n,k\text{ as decimal digits}\}$ es incontable. Por lo que debe incluir al menos un número irracional, y de hecho casi todo el conjunto está hecho de números irracionales.
El mismo se puede hacer con tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho o nueve dígitos. El argumento es el mismo. Alternativamente, se puede utilizar de diagonalización para demostrar que el conjunto es incontable, es el mismo método que se utilizaría en caso contrario.
Es cierto que hay "números irracionales" que su expansión decimal no incluir todos los dígitos, pero algunos de ellos
También existe la Ley de Benford , que se estudia en la Teoría de números
creo que hay un teorema que, en promedio, la probabilidad de cada dígito en el conjunto de los números irracionales es equiprobables con probabilidad uno (es decir, casi en todas partes) Y esto está relacionado con equidistribución teoremas
(Respuesta por Asaf Karagila proporciona una breve prueba de la afirmación anterior)
Por favor, corrija si me equivoco aquí
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