Los isomorfismos conservan la propiedad de ser un anillo ideal principal

Question

Dejemos que $f:R\rightarrow S$ sea un isomorfismo. Demostrar que si dejamos que $R$ sea un anillo ideal principal se deduce que $S$ es un anillo ideal principal también.

¿Cómo debo empezar la prueba?

Answer 1

$S$ es un anillo ideal principal, por definición, cuando cada ideal $I\subseteq S$ es principal, es decir, $$I=(s)=\{sx\mid x\in S\}$$ para algunos $s\in S$ .

Deberías saber de la clase (o, si no, probar por tu cuenta) que, para cualquier homomorfismo $g:A\rightarrow B$ donde $A$ y $B$ son anillos, entonces si $J\subseteq B$ es un ideal de $B$ entonces $g^{-1}(J)$ es un ideal de A.

Dejemos que $I$ sea cualquier ideal de $S$ . Queremos mostrar $I=(s)$ para algunos $s\in S$ . Utilizando el hecho anterior, sabemos que $f^{-1}(I)$ es un ideal de $R$ . ¿Ves cómo usar lo que hemos asumido como cierto sobre $R$ (que $R$ es un anillo ideal principal), combinado con la capacidad de enviar elementos de $R$ a elementos de $S$ por $r\mapsto f(r)$ y viceversa por $s\mapsto f^{-1}(s)$ (porque $f$ es un isomorfismo), para demostrar lo que queremos?

Answer 2

El isomorfismo es una condición muy fuerte. Un anillo $R$ tiene todas las propiedades que un anillo isomorfo tiene como anillo, como ser dominio ideal principal o ser un campo.

Creo que la condición de este problema se puede debilitar un poco.