Minimizar el tamaño de un cilindro que se desliza en un tubo

Question

Definamos una curva de columna vertebral $\Gamma$ dado en términos de su parámetro de longitud de arco $s$ y una familia de curvas cerradas $\Omega = \Omega \left( s \right)$ . Digamos que $\Gamma$ tiene una longitud finita, de $s=0$ a $s=s_{end}$ . Al deslizarse $\Omega$ en todo $\Gamma$ , una región tubular $T$ se genera. Supongamos que el proceso de deslizamiento está perfectamente definido, por ejemplo en el caso de que $\Omega$ es plano, permanece siempre perpendicular a $\Gamma$ y su centroide está siempre en $\Gamma$ .

Mi primera pregunta es cómo describir analíticamente $T$ en términos de $\Gamma$ y $\Omega$ .

                                                              

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Ahora la cuestión principal: definamos un cilindro $C$ con bases paralelas y una altura fija $L$ . La superficie lateral del cilindro no es fija, ni tampoco la forma y el tamaño de las bases. El problema consiste en dimensionar mínimamente este cuerpo (es decir, un volumen mínimo), y proporcionar su ley de movimiento. $C$ debe ser movido de alguna manera a través del tubo $T$ , previamente definida. La condición es que $C$ debe cubrir toda la sección transversal de $T$ en cada posición, es decir, para una $s=s^*$ La región de $T$ entre $s=s^*$ y $s=s^*+L$ debe estar dentro de $C$ .

                    

Me gustaría obtener algunas pistas o referencias para afrontar este problema. Tanto los enfoques analíticos como los numéricos son bienvenidos. Sé que el problema es bastante genérico, así que propongo una versión simplificada a continuación:

Digamos que $\Omega$ es en realidad una curva cerrada fija en lugar de una familia de curvas. Digamos también que $\Omega$ es el plano. $T$ se genera ahora mediante la extrusión de $\Omega$ perpendicular a $\Gamma$ manteniendo su centroide siempre en la curva de la columna vertebral $\Gamma$ . Digamos que $C$ es en realidad un cilindro circular recto de diámetro desconocido $d$ y se desplazará manteniendo su centroide $G$ en $\Gamma$ y su sección transversal en $G$ perpendicular a $\Gamma$ . En estas condiciones, el único parámetro libre del problema es el diámetro del cilindro, $d$ . Por lo tanto, el problema es determinar el mínimo $d$ que satisface la condición de que $C$ cubre toda la sección transversal de $T$ en cada posición.

                                                            

Cualquier luz que se arroje sobre estos problemas será muy bienvenida :)

Answer 1

Estamos estudiando el régimen simplificado, que ya es todo un reto. Voy a resumir el enfoque que adoptaría para abordarlo.

a) el sistema de referencia móvil

Considere $s$ tiempo, para que podamos ayudarnos de los conceptos desarrollados en la física, y que
conduce a la Trinet Trihedral como se sugiere acertadamente en el comentario anterior.
Por lo tanto, dado $\Gamma(s)$ es decir, el vector $\mathbf p(s)=(x(s),y(s),z(s))$ , toma la velocidad (será tangente a $\Gamma$ ), normalizarlo y llamarlo $\mathbf t(s)$ .
Entonces tome la derivada de $\mathbf t(s)$ normalizarlo y llamarlo $\mathbf n(s)$ será proporcional a la aceleración centrípeta.
Por último, tome el producto cruzado $\mathbf b(s) = \mathbf t(s) \times \mathbf n(s)$ .
Los tres vectores unitarios dan un sistema de referencia que se desplaza a lo largo de la curva, con
- $\mathbf t$ tangente a la curva,
- $\mathbf n$ normal a la curva (dirigida hacia el centro de curvatura) y en el plano de la curva,
- $\mathbf b$ normal al plano de la curva.

El problema es que $\mathbf n$ es centrípeta, y si la curva se curva en sentido contrario $\mathbf n$ abruptamente cambiar su orientación. En estos casos procederemos (a trozos / en el límite) y elegiremos el signo de $\mathbf n$ como para mantener la orientación de $\mathbf b$ o mantener $\mathbf b$ volver $\mathbf n$ del producto cruzado.

b) la ecuación del tubo

Así que $\Omega$ es una curva plana, que es mejor tomar como descrita en coordenadas polares por $\rho(\theta)$ .
$\rho$ es la distancia al centroide, y $\theta$ un ángulo desde un rayo de referencia (vector unitario $\mathbf r$ ) a partir del centroide y la intersección de $\Omega$ en un punto de referencia $R$ , fijada en la curva.
$\Omega$ se mueve con su centroide a lo largo de $\Gamma$ y su plano normal a él, es decir, con normal $\mathbf t$ .
Pero no has especificado cómo gira / se mantiene orientado cuando se mueve:
- podría mantener su orientación / rotar con respecto al sistema en movimiento, por ejemplo $\mathbf r$ en paralelo a $\mathbf n$ o
- mantener su orientación respecto a un plano de la referencia fija $x,y,z$ Por ejemplo $\mathbf r$ paralelo al plano $x,y$ o
- mantener el punto $R$ en la posición más baja, por ejemplo, con respecto al eje $z$ o
- etc.

Supongamos el primer caso, $\mathbf r$ en paralelo a $\mathbf n$ entonces $${\bf q}(s,\theta ) = {\bf p}(s) + \rho (\theta )\cos \theta \;{\bf n}(s) + \rho (\theta )\sin \theta \;{\bf b}(s)$$ será la ecuación paramétrica del tubo.

Si $\Omega$ gira a velocidad angular constante con respecto al sistema en movimiento, entonces se puede leer $$\theta \; \to \;\theta + \theta _0 + s/T$$

c) el cilindro

Consideremos un segmento de longitud $h$ (la altura del cilindro) y los dos planos extremos normales a él.
Movamos (traslademos e inclinemos) el segmento de tal manera que el plano inicial cruce $\Gamma$ siempre en un determinado $s$ .

Lo moveremos para encontrar la posición en la que es mínima su distancia máxima de los puntos del tubo $(\Gamma,\Omega : {\bf q}(s,\theta ))$ comprendida entre los dos planos.
Ese será el radio mínimo del manguito cilíndrico que abraza el tubo y que comienza en $s$ .

Está claro que no es una tarea fácil, y se adoptarán algunas aproximaciones, en función de la curvatura y la torsión de $\Gamma$ , irregularidad de $\Omega$ , ...