Definamos una curva de columna vertebral Γ dado en términos de su parámetro de longitud de arco s y una familia de curvas cerradas Ω=Ω(s) . Digamos que Γ tiene una longitud finita, de s=0 a s=send . Al deslizarse Ω en todo Γ , una región tubular T se genera. Supongamos que el proceso de deslizamiento está perfectamente definido, por ejemplo en el caso de que Ω es plano, permanece siempre perpendicular a Γ y su centroide está siempre en Γ .
Mi primera pregunta es cómo describir analíticamente T en términos de Γ y Ω .
Ahora la cuestión principal: definamos un cilindro C con bases paralelas y una altura fija L . La superficie lateral del cilindro no es fija, ni tampoco la forma y el tamaño de las bases. El problema consiste en dimensionar mínimamente este cuerpo (es decir, un volumen mínimo), y proporcionar su ley de movimiento. C debe ser movido de alguna manera a través del tubo T , previamente definida. La condición es que C debe cubrir toda la sección transversal de T en cada posición, es decir, para una s=s∗ La región de T entre s=s∗ y s=s∗+L debe estar dentro de C .
Me gustaría obtener algunas pistas o referencias para afrontar este problema. Tanto los enfoques analíticos como los numéricos son bienvenidos. Sé que el problema es bastante genérico, así que propongo una versión simplificada a continuación:
Digamos que Ω es en realidad una curva cerrada fija en lugar de una familia de curvas. Digamos también que Ω es el plano. T se genera ahora mediante la extrusión de Ω perpendicular a Γ manteniendo su centroide siempre en la curva de la columna vertebral Γ . Digamos que C es en realidad un cilindro circular recto de diámetro desconocido d y se desplazará manteniendo su centroide G en Γ y su sección transversal en G perpendicular a Γ . En estas condiciones, el único parámetro libre del problema es el diámetro del cilindro, d . Por lo tanto, el problema es determinar el mínimo d que satisface la condición de que C cubre toda la sección transversal de T en cada posición.
Cualquier luz que se arroje sobre estos problemas será muy bienvenida :)