Processing math: 100%

6 votos

Minimizar el tamaño de un cilindro que se desliza en un tubo

Definamos una curva de columna vertebral Γ dado en términos de su parámetro de longitud de arco s y una familia de curvas cerradas Ω=Ω(s) . Digamos que Γ tiene una longitud finita, de s=0 a s=send . Al deslizarse Ω en todo Γ , una región tubular T se genera. Supongamos que el proceso de deslizamiento está perfectamente definido, por ejemplo en el caso de que Ω es plano, permanece siempre perpendicular a Γ y su centroide está siempre en Γ .

Mi primera pregunta es cómo describir analíticamente T en términos de Γ y Ω .

                                                              Tube generation


Ahora la cuestión principal: definamos un cilindro C con bases paralelas y una altura fija L . La superficie lateral del cilindro no es fija, ni tampoco la forma y el tamaño de las bases. El problema consiste en dimensionar mínimamente este cuerpo (es decir, un volumen mínimo), y proporcionar su ley de movimiento. C debe ser movido de alguna manera a través del tubo T , previamente definida. La condición es que C debe cubrir toda la sección transversal de T en cada posición, es decir, para una s=s La región de T entre s=s y s=s+L debe estar dentro de C .

                    Cylinder moving through tube

Me gustaría obtener algunas pistas o referencias para afrontar este problema. Tanto los enfoques analíticos como los numéricos son bienvenidos. Sé que el problema es bastante genérico, así que propongo una versión simplificada a continuación:

Digamos que Ω es en realidad una curva cerrada fija en lugar de una familia de curvas. Digamos también que Ω es el plano. T se genera ahora mediante la extrusión de Ω perpendicular a Γ manteniendo su centroide siempre en la curva de la columna vertebral Γ . Digamos que C es en realidad un cilindro circular recto de diámetro desconocido d y se desplazará manteniendo su centroide G en Γ y su sección transversal en G perpendicular a Γ . En estas condiciones, el único parámetro libre del problema es el diámetro del cilindro, d . Por lo tanto, el problema es determinar el mínimo d que satisface la condición de que C cubre toda la sección transversal de T en cada posición.

                                                            simplified version

Cualquier luz que se arroje sobre estos problemas será muy bienvenida :)

1voto

G Cab Puntos 51

Estamos estudiando el régimen simplificado, que ya es todo un reto. Voy a resumir el enfoque que adoptaría para abordarlo.

a) el sistema de referencia móvil

Considere s tiempo, para que podamos ayudarnos de los conceptos desarrollados en la física, y que
conduce a la Trinet Trihedral como se sugiere acertadamente en el comentario anterior.
Por lo tanto, dado Γ(s) es decir, el vector p(s)=(x(s),y(s),z(s)) , toma la velocidad (será tangente a Γ ), normalizarlo y llamarlo t(s) .
Entonces tome la derivada de t(s) normalizarlo y llamarlo n(s) será proporcional a la aceleración centrípeta.
Por último, tome el producto cruzado b(s)=t(s)×n(s) .
Los tres vectores unitarios dan un sistema de referencia que se desplaza a lo largo de la curva, con
- t tangente a la curva,
- n normal a la curva (dirigida hacia el centro de curvatura) y en el plano de la curva,
- b normal al plano de la curva.

El problema es que n es centrípeta, y si la curva se curva en sentido contrario n abruptamente cambiar su orientación. En estos casos procederemos (a trozos / en el límite) y elegiremos el signo de n como para mantener la orientación de b o mantener b volver n del producto cruzado.

b) la ecuación del tubo

Así que Ω es una curva plana, que es mejor tomar como descrita en coordenadas polares por ρ(θ) .
ρ es la distancia al centroide, y θ un ángulo desde un rayo de referencia (vector unitario r ) a partir del centroide y la intersección de Ω en un punto de referencia R , fijada en la curva.
Ω se mueve con su centroide a lo largo de Γ y su plano normal a él, es decir, con normal t .
Pero no has especificado cómo gira / se mantiene orientado cuando se mueve:
- podría mantener su orientación / rotar con respecto al sistema en movimiento, por ejemplo r en paralelo a n o
- mantener su orientación respecto a un plano de la referencia fija x,y,z Por ejemplo r paralelo al plano x,y o
- mantener el punto R en la posición más baja, por ejemplo, con respecto al eje z o
- etc.

Supongamos el primer caso, r en paralelo a n entonces q(s,θ)=p(s)+ρ(θ)cosθn(s)+ρ(θ)sinθb(s) será la ecuación paramétrica del tubo.

Si Ω gira a velocidad angular constante con respecto al sistema en movimiento, entonces se puede leer θθ+θ0+s/T

c) el cilindro

Tube_Cyl

Consideremos un segmento de longitud h (la altura del cilindro) y los dos planos extremos normales a él.
Movamos (traslademos e inclinemos) el segmento de tal manera que el plano inicial cruce Γ siempre en un determinado s .

Lo moveremos para encontrar la posición en la que es mínima su distancia máxima de los puntos del tubo (Γ,Ω:q(s,θ)) comprendida entre los dos planos.
Ese será el radio mínimo del manguito cilíndrico que abraza el tubo y que comienza en s .

Está claro que no es una tarea fácil, y se adoptarán algunas aproximaciones, en función de la curvatura y la torsión de Γ , irregularidad de Ω , ...

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X