El dominio de una función definida por adición

Question

Dejemos que $\space f(x)=-2+\ln (2x-1) \space$ qué dominio es $(\frac{1}{2},+\infty )$ . Ahora dejemos que $h(x)=f(x)-f(\frac{x}{2}) \space $ . ¿Cuál es el dominio de $h$ ?

Empecé a calcular $h$ : $$\begin{align*} h(x)&=-2+\ln(2x-1)- \left[-2+\ln(\frac{2x}{2}-1) \right]\\ &=-2+ \ln(2x-1)+2-\ln(x-1)\\ &=\ln(2x-1)-\ln(x-1)\\ &=\ln \left (\frac{2x-1}{x-1}\right) \end{align*}$$

A continuación, he creado una tabla y en una fila he puesto $2x-1$ y en la siguiente fila pongo $x-1$ . Encontré los ceros de estas funciones y los puse en la cabecera. Después he multiplicado el signo de las dos funciones.

Donde el numerador o el denominador son cero, $h$ no está definido. Cuando el signo es negativo $h$ tampoco está definido. Así que el dominio de $h$ es $( -\infty,\frac{1}{2})\cup( 1,+\infty)$

Pero mi libro dice que el dominio es sólo $( 1,+\infty)$ . Si la solución del libro es correcta, ¿por qué ocurre esto?

Merci

Answer 1

Por definición, el dominio de una suma de funciones es la intersección de sus dominios.

Así, por ejemplo, si $f(x) = \frac{1}{x}$ y $g(x) = -\frac{1}{x}$ entonces el dominio de $h(x) = f(x) + g(x)$ es "todo $x\neq 0$ ", porque para poder calcular $f(x)$ y poder calcular $g(x)$ , es necesario que $x\neq 0$ .

Sin embargo, si intenta calcular una fórmula para $h(x)$ se obtiene $h(x)=0$ que se define como en todas partes . Ese es el problema: cuando se simplifica, se pueden permitir nuevos valores que no estaban permitidos antes de la simplificación. (Lo mismo ocurre con la composición: si compones $f$ con sí mismo y "simplificar", se obtiene $h(x) = x$ que se define en todas partes, aunque $f(f(x))$ no se puede calcular en $0$ porque $f$ no se define en $0$ ).

En otras palabras: para calcular los dominios de las sumas, las diferencias, los productos, los cocientes y las composiciones, hay que mirar los dominios de las funciones originales, no a la fórmula simplificada que podrías obtener después de sustituir y hacer álgebra.

Esto es lo que ha ocurrido con su cálculo. Cuando pasó de $\ln(2x-1)-\ln(x-1)$ a $\ln\left(\frac{2x-1}{x-1}\right)$ , has "simplificado" y añadido posibilidades: para poder computar ambos $\ln(2x-1)$ y $\ln(x-1)$ , necesitas ambos $2x-1$ y $x-1$ para ser positivo. Pero para calcular $\ln\left(\frac{2x-1}{x-1}\right)$ , tú sólo necesita que ambos tengan el mismo signo. Eso es donde los extraños $(-\infty,\frac{1}{2})$ vienen de.

Para calcular el dominio correctamente, es necesario intersecar el dominio de $f(x)$ y el dominio de $f(\frac{x}{2})$ .

El dominio de $f(x)$ es $(\frac{1}{2}\infty)$ . El dominio de $f(\frac{x}{2})$ es $(1,\infty)$ . Así que el dominio de $h(x)$ es la intersección de estos dos dominios.