Sigo sin estar seguro de este problema y esperaba que alguien pudiera ayudarme a solucionarlo de una vez por todas.
Supongamos que $X=[0,1]$ y $m$ es el $\sigma$ álgebra de conjuntos medibles de Lebesgue en $X$ y $\mu$ es la medida de Lebesgue en $X$ Consideremos la función $g_1=2\chi_{[0,1/2)}, g_2=4\chi_{[1/2,3/4)}, g_3=8\chi_{[3/4,7/8)}$ y así sucesivamente. ¿Es la función $$f(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}(g_n(x)-g_{n+1}(x))g_n(y)$$ integrable en $[0,1]x[0,1]$ ?
Actualmente estoy trabajando en los teoremas de Fubini y Tonelli y me dieron este problema pero no estoy seguro de cómo hacerlo.
Aquí hay algunas ideas que estoy considerando,
Dado que las funciones simples $g_n$ son medibles e integrables en el espacio $[0,1]$ la función $f(x,y)$ es medible .
Ahora quiero demostrar la integrabilidad. y según entiendo, necesito demostrar que $\int_{X \times Y}| f(x,y)|d\mu (x,y)<\infty$
Para cada $x$ , me doy cuenta de que $\int_0^1g_n(x)dx=1$ .
Así que voy como, para un fijo $x$ ,
$$ \int_0^1\int_0^1 f(x,y)=\int_0^1\int_0^1\sum_{n=1}^{\infty}(g_n(x)-g_{n+1}(x))g_n(y)dydx$$ Y como $g_n(y)\geq 0$ Puedo cambiar la integral y la suma. $$= \int_0^1\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^1 (g_n(x)-g_{n+1}(x))g_n(y)dydx= \int_0^1\sum_{n=1}^{\infty} (g_n(x)-g_{n+1}(x))dx$$ Esto se debe a que $\int_0^1g_n(y)dy=1$ . Así que eso da como resultado $$=\int_0^1\sum_{n=1}^{\infty} g_n(x)dx-\int_0^1\sum_{n=1}^{\infty} g_{n+1}(x)=\int_0^1\sum_{n=1}^{\infty}2^n\chi_{E_n}(x)dx-\int_0^1\sum_{n=1}^{\infty}2^{n+1}\chi_{E_n+1}(x)dx$$ Pero como el $E_n's$ son disjuntos tengo $$\sum_{n=1}^{\infty}2^n\chi_{E_n}=2^n\chi_{\cup_nE_n}=2^n\chi_{[0,1]}$$ Así que tengo $$\int_0^12^n\chi_{[0,1]}(x)dx-\int_0^12^{n+1}\chi_{[0,1]}(x)dx$$ $$=1-1=0$$ Por otro lado
Manteniendo $y$ arreglado. ¿Puedo escribir $$\int_0^1\int_0^1\sum_{n=1}^{\infty}(g_n(x)-g_{n+1}(x))g_n(y)dxdy$$ $$=\int_Y\int_0^1\sum_{n=1}^{\infty} g_n(x)g_n(y)dxdy-\int_Y\int_0^1\sum_{n=1}^{\infty} g_n(x)g_{n+1}g_n(y)dxdy$$
$$=\int_0^1g_n(y)dy-\int_0^1g_n(y)dy=0$$
puede alguien pls comprobar mi idea , o mostrarme como ver o abordar los problemas de suck, gracias.
