¿Cuál es la relación entre las derivadas funcionales (físicas) y las derivadas de Fréchet

Question

Me pregunto cómo se puede llegar a la definición de Derivada Funcional que se encuentra en la mayoría de los libros de Teoría Cuántica de Campos:

$$\frac{\delta F[f(x)]}{\delta f(y) } = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{F[f(x)+\epsilon \delta(x-y)]-F[f(x)]}{\epsilon}$$

de las definiciones de las derivadas funcionales utilizadas por los matemáticos (he visto muchas afirmaciones de que es, en efecto, la derivada de Fréchet, pero ninguna prueba). El Artículo de Wikipedia dice que sólo se trata de utilizar la función delta como "función de prueba", pero a continuación dice que es una tontería.

¿De dónde viene esto? $\delta(x-y)$ ¿procede?

Answer 1

Esta es una notación formal para lo siguiente en general:

$$F(f+\delta f) = F(f) + \int A(x) \delta f(x) $$

Dónde $\delta f$ es el cambio infinitesimal en f, y es una función de prueba suave, y luego en el lado derecho, $A(x)$ es sólo un operador lineal en el espacio de las funciones. La notación para el $A(x)$ es entonces

$$ A(x) = {\delta F\over \delta f(x)}$$

Porque si formalmente subtitud $\delta f(x) = \delta(x-y)$ , se encuentra $A(y)$ como el valor de la integral. Esto es sólo un truco de notación $\delta f$ es una variación pequeña en todas partes, lo que es imposible si es infinita en un punto. Otra forma de decir esto es que el límite de la función delta en un punto tiene que tomarse después del límite de épsilon pequeño en la definición que das, para que la variación se haga pequeña antes de que se concentre infinitamente.

Answer 2

Siempre que tengo problemas con las derivadas funcionales, simplemente hago la sustitución de una variable continua $x$ en un índice discreto $i$ . Si no me equivoco esto es lo que llaman un " Notación DeWitt ".

La idea de la mano que se extiende es que se puede pensar en una $F[f(x)]$ como de una "función ordinaria" de muchas variables $F(f_{-N},\cdots,f_0,f_1,f_2,\cdots,f_N) = F(\vec{f})$ con $N$ yendo al "infinito continuo".

En ese lenguaje su derivada funcional se transforma en derivada parcial sobre una de las variables: $$\frac{\delta F}{\delta f(x)} \to \frac{\partial F}{\partial f_i}$$ Y la función delta es sólo un delta de Kronecker ordinario: $$\delta(x-y) \to \delta_{ij}$$

Así que, recogiendo esto nosotros para su expresión: $$\frac{\delta F}{\delta f(x)} = \lim_{\epsilon\to\infty}\frac{F[f(x)+\epsilon\delta(x-y)]-F[f(x)]}{\epsilon} \to$$ $$\frac{\partial F}{\partial f_j} = \lim_{\epsilon\to\infty}\frac{F[f_i+\epsilon\delta_{ij}]-F[f_i]}{\epsilon} $$ Lo cual es, para mi gusto, un poco redundante. Pero es cierto.

Answer 3

La notación de la derivada física denota las componentes de una derivada de Frechet en la dirección de la función delta soportada en $y$ .

Este es uno de esos lugares donde la costumbre de denotar la función $f$ por su valor $f(x)$ se vuelve confuso. Es algo más claro si se escribe $\delta_y$ para la función delta en $y$ y

$$ \frac{\delta F}{\delta (\delta_y)}[f] = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} ( F[f + \epsilon \delta_y] - F[f]). $$

Obviamente, la función delta no es realmente una función. Pero este uso tiene exactamente el mismo sentido que la base de posición (y esta última puede hacerse perfectamente rigurosa utilizando espacios de Hilbert amañados).

Answer 4

Sea la definición de la derivada funcional

$$ \int \frac{\delta F}{\delta \rho(x)} \phi(x) dx = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{F[\rho + \epsilon \phi] - F[\rho]}{\epsilon} $$

Elija

$$ \phi(x) = \delta(x-y) $$

Y completar la integración en el lado izquierdo

$$ \int \frac{\delta F}{\delta \rho(x)}\delta(x-y) dx = \frac{\delta F}{\delta \rho(y)} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{F[\rho + \epsilon \delta(x-y)] - F[\rho]}{\epsilon} $$

Deja que un físico elija una función en un integrando, y elegirá siempre una función delta.