Mostrando que las matrices son unitarias similares

Question

Dejemos que $A , B \in M_2$ . Demuestre que son unitariamente similares entre sí si y sólo si $Tr(W(A,A^*)) = Tr(W(B,B^*))$ para las palabras $W(s,t) = s , s^2, st$ .

Hasta ahora lo que he hecho es dejar $$ A= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} B= \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \\ \end{bmatrix} $$ Entonces, como tenemos $Tr(A)=Tr(B)$ , $Tr(A^2) = Tr(B^2)$ y $Tr(AA^*) = Tr(BB^*)$ tenemos respectivamente,

$$a+d = x+w$$ $$a^2 + 2bc + d^2 = x^2 + 2yz + w^2$$ $$aa^* + bb^* + cc^* + dd^* = xx^* + yy^* +zz^* + ww^*$$

Así que hacemos lo siguiente a la segunda ecuación:

$$(a+d)^2 - 2ad + 2bc = x^2 +2yz + w^2 $$ $$(x+w)^2 - 2ad + 2bc = x^2 + 2yz + w^2$$ $$x^2+2xw + w^2 -2ad + 2bc= x^2+2yz + w^2$$ $$2xw-2ad + 2bc = 2yz$$ $$ad-bc = xw - yz$$ Por lo tanto, $det(A) = det(B)$ además $p_A(t) = p_B(t)$ (los polinomios característicos.) Y así $\sigma(A) = \sigma(B)$ . Ahora es cuando tengo dudas. Me gustaría poder utilizar el Teorema de Sylvesters para obtener que existe una matriz no nula $X$ que resuelve la ecuación

$$AX - XB =0 $$

Por lo tanto, sólo tendría que demostrar que $X$ es unitario. Así que mi pregunta es ¿se mantiene mi lógica? ¿Seré capaz de obtener una solución no nula como pretendo? gracias de antemano.

Answer 1

Damos una prueba utilizando el teorema de Specht. cf.

https://en.wikipedia.org/wiki/Specht%27s_theorem#cite_note-5

Observación. Si nos limitamos al caso n = 2, puede existir alguna demostración directa elemental.

$\textbf{Specht's theorem (1940).}$ Dejemos que $A,B\in M_n(\mathbb{C})$ .

$A,B$ son unitariamente similares IFF la infinidad de igualdades

$tr(W(A,A^*))=tr(W(B,B^*))$ son válidas para todas las palabras (finitas) $W$ en dos cartas.

$\textbf{Proposition.}$ Cuando $n=2$ la condición de Specht puede reducirse a

i) $tr(A)=tr(B)$ ii) $tr(A²)=tr(B^2)$ iii) $tr(AA^*)=tr(BB^*)$ .

$\textbf{Proof}.$ $\Rightarrow$ está claro.

$\Leftarrow$ $\{i), ii)\}$ equivale a decir que los polinomios característicos $\chi_A,\chi_B$ son iguales.

Utilizando Cayley Hamilton, obtenemos $A^k=u_kA+v_kI_2$ y, por lo tanto $B^k=u_kB+v_kI_2,{A^*}^k=\overline {u_k}A^*+\overline{v_k}I_2,{B^*}^k=\overline {u_k}B^*+\overline{v_k}I_2$ .

Una palabra en $A,A^*$ (hay infinidad de palabras de este tipo) tiene la forma $W(A,A^*)=A^p{A^*}^qA^r{A^*}^s\cdots$ ; de acuerdo con las igualdades anteriores, $W(A,A^*)$ es una combinación lineal de términos de la forma $I_2,AA^*AA^*\cdots,A^*AA^*\cdots$ y $W(B,B^*)$ es la MISMA combinación de términos de la forma $I_2,BB^*BB^*\cdots,B^*BB^*\cdots$ .

$\{\det(AA^*)=\det(BB^*),iii)\}$ equivale a decir que los polinomios característicos $\chi_{AA^*},\chi_{BB^*}$ son iguales (el mismo resultado para $\chi_{A^*A},\chi_{B^*B}$ ).

Finalmente, $W(A,A^*)$ es una combinación lineal de estos $7$ términos $AA^*,A^*A,AA^*A,A^*AA^*,A,A^*,I_2$ y $W(B,B^*)$ es la MISMA combinación de estos $7$ términos $BB^*,B^*B,BB^*B,B^*BB^*,B,B^*,I_2$ .

Queda por demostrar que $tr(AA^*A)=tr(BB^*B),tr(A^*AA^*)=tr(B^*BB^*)$ Es fácil. $\square$