Paradoja con la ley de Gauss cuando el espacio está cargado uniformemente en todas partes

Question

Consideremos que el espacio está cargado uniformemente en todas partes, es decir, lleno de una distribución de carga uniforme, $\rho$ en todas partes.

Por simetría, el campo eléctrico es cero en todas partes. (Si tomo cualquier punto en el espacio y trato de encontrar el campo eléctrico en este punto, siempre habrá contribuciones iguales de los elementos de carga de volumen alrededor de ese punto que se sumarán vectorialmente a cero).

En consecuencia, a partir de la ley de Gauss en la forma diferencial $$\nabla\cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$

si $E$ es cero, la divergencia es cero y por tanto la densidad de carga es cero.

¿Qué ocurre aquí? ¿Una distribución de carga uniforme no nula que existe en todas partes no tiene ningún efecto y equivale a no tener carga alguna?

Answer 1

Creo que podemos estar de acuerdo en que si todo el espacio lleva una densidad de carga fija y uniforme (en nuestro marco) entonces el campo E es cero en todas partes. Obviamente entonces, el cálculo del flujo para cualquier superficie cerrada también dará como resultado cero a pesar de la presencia de "carga" dentro de la región delimitada.

Pensando "físicamente" y un poco menos matemáticamente, me parece que esta supuesta paradoja se reduce a nuestra interpretación de div(E) ~ rho. Tal vez deberíamos pensar siempre en esta ecuación como:

div (E) ~ rho - rho(0), donde rho(0) es la densidad de carga del "vacío".

Desde el punto de vista de la electrostática, si añadimos una densidad de carga uniforme (en mi marco) rho(0) en todas partes -- no habrá ningún cambio en el campo E estático debido a "sobredensidades" de carga. Por ejemplo, el campo E asociado a un electrón solitario tendrá el mismo aspecto si añado una densidad de carga de fondo rho(0) uniforme en todas partes alrededor de él (bueno, y en él también).

Si reconocemos que una densidad de carga rho(0) no cambia el campo físico E, es fácil ver cómo div (E) ~ rho - rho(0) nos devuelve a donde queremos estar con los cálculos de flujo y las cargas. Este es un argumento de tipo "gauge" y para mí tiene sentido práctico y físico.

Ahora lo interesante es saber si una densidad de carga uniforme y difusa de fondo (rho(0)) como se ve en MI fotograma se vería igual a un fotograma potenciado. En este momento no tengo los medios para resolverlo, pero mi instinto me dice que en los marcos relativos potenciados lo que parece un rho(0) uniforme puede transformarse en algo que puede no ser uniforme, aunque sea un escalar (probablemente entren en juego los volúmenes y las diferencias transversales). Pero esto hay que comprobarlo (un bonito ejercicio de EM de pregrado). Además, en marcos potenciados o giratorios sospecho que rho(0) -- como se ve en mi "marco de reposo" -- parece que las corrientes y las cosas son un lío (aunque bien prescrito por las Ecs de Maxwell). Una vez más, no he hecho el análisis, pero puede haber algunos efectos EM/relativistas interesantes relacionados con una densidad de carga de fondo que parece uniforme en al menos un marco (para el que uno parece encontrarse con una paradoja sobre el Teorema de Gauss).

En cualquier caso, creo que la resolución de la paradoja se basa en el reconocimiento de que los campos físicos -como E- surgen de DIFERENCIAS en las densidades de las fuentes a partir de una tierra uniforme para la que los campos físicos asociados son cero.

¿Suena bien?

Answer 2

Quiero añadir una nueva perspectiva al comentario de user10851. Como ya se ha comentado, la solución que queremos, en la que tenemos densidad eléctrica constante en todas partes, es distinta de cero. Además, aumenta a medida que nos alejamos del origen.

Se puede argumentar que el problema es que podemos elegir el origen arbitrariamente de forma que encontremos exactamente la misma solución para cualquier punto que el origen, lo que parece contradictorio porque si uno se pregunta "cuál es el campo eléctrico en un punto $P$ ?", entonces no podemos dar una respuesta independientemente del origen, es decir, el campo eléctrico depende del origen (depende del observador).

La perspectiva que propongo es la siguiente: ESTA SOLUCIÓN ES EXACTAMENTE IDÉNTICA A LA EXPANSIÓN DE NUESTRO UNIVERSO

Nuestro universo es homogéneo pero al mismo tiempo se expande. Como en la solución de user10851, la expansión es más fuerte a medida que nos alejamos del origen de nuestro marco de referencia. Al igual que en la solución, la expansión depende del marco de referencia que elijamos.

Por lo tanto, el problema en su argumento era que la suposición de que la homogeneidad de la densidad de carga implica que el campo eléctrico es cero en todas partes . Como hemos visto, no es así.

NOTA IMPORTANTE : La expansión del universo es sólo un ejemplo para demostrar que la homogeneidad no implica estabilidad. Yo, por supuesto, no propongo que la expansión del universo esté relacionada con la carga o el campo eléctrico

Answer 3

Sólo un punto rápido sobre su argumento de simetría. La cancelación exacta de todas las contribuciones del campo eléctrico en un punto $P$ se equivoca porque no hay ninguna contribución que anule la del elemento de carga en $P$ en sí mismo. Como otros carteles han dicho, debes empezar con la Ley de Gauss tal y como está escrita e integrar tu densidad de carga dada. No obtendrás un campo eléctrico uniformemente nulo.