Paradoja con la ley de Gauss cuando el espacio está cargado uniformemente en todas partes

Question

Consideremos que el espacio está cargado uniformemente en todas partes, es decir, lleno de una distribución de carga uniforme, $\rho$ en todas partes.

Por simetría, el campo eléctrico es cero en todas partes. (Si tomo cualquier punto en el espacio y trato de encontrar el campo eléctrico en este punto, siempre habrá contribuciones iguales de los elementos de carga de volumen alrededor de ese punto que se sumarán vectorialmente a cero).

En consecuencia, a partir de la ley de Gauss en la forma diferencial $$\nabla\cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$

si $E$ es cero, la divergencia es cero y por tanto la densidad de carga es cero.

¿Qué ocurre aquí? ¿Una distribución de carga uniforme no nula que existe en todas partes no tiene ningún efecto y equivale a no tener carga alguna?

Answer 1

Si siguieras los argumentos con atención y comprobaras lo que es demostrablemente correcto y lo que no lo es, estarías de acuerdo en que lo que el argumento hace en realidad es demostrar que una densidad de carga eléctrica uniforme no puede tener un campo eléctrico uniforme. Tu tarea original era resolver las ecuaciones de Maxwell (bueno, la ley de Gauss), así que si descubres que las ecuaciones no se satisfacen, sólo significa que no has resuelto el problema que querías resolver, o que la solución candidata es incorrecta. No puedes decir de repente -como sugiere tu pregunta- que no importa que las ecuaciones no se resuelvan y que quieres cambiarlas o algo más. Esto sería cambiar las reglas del juego - y cambiar las leyes de la física.

En cambio, podrá encontrar soluciones $\vec E(x,y,z)$ que obedecen ${\rm div}\,\vec E = \rho/\epsilon_0$ . Sin embargo, no es cierto que este $\vec E(x,y,z)$ puede ser traslacionalmente simétrica. En cambio, debe elegir un origen donde $\vec E = 0$ digamos que en $(x,y,z)=(0,0,0)$ y escribir $$ \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0} (x/3, y/3, z/3) $$ Siéntase libre de comprobar que la divergencia es la que usted quería. También puede escribir esto $\vec E$ de un potencial, $\vec E = -\nabla \phi$ , $\phi = \rho/(2\epsilon_0) (x^2+y^2+z^3)/3 $ . En realidad podría dividir los términos asimétricamente a las coordenadas $x,y,z$ .

La misma "paradoja" surge en el caso de la aceleración gravitatoria y la densidad de masa. En el caso no relativista, esta sorprendente no uniformidad de $\vec E$ aunque no es una paradoja, sugiere fuertemente que a la escala más larga, la densidad de carga debería ser cero. Y efectivamente es el caso de la densidad de carga eléctrica. Para la densidad de masa, no es el caso, aunque el argumento newtoniano nos llevaría a concluir que debería ser cierto. Sin embargo, la masa no puede ser negativa y la densidad de energía es positiva. Esto obligaría a violar la simetría traslacional en un universo uniforme newtoniano. Sin embargo, el universo einsteiniano (bueno, FRW) que obedece las leyes de la relatividad general no tiene ningún problema con una densidad de masa global positiva: el Universo simplemente se curva en consecuencia. Nuestro Universo es un ejemplo.

Answer 2

¿Qué está pasando aquí?

Otros han señalado esta aparente incoherencia: La ley de Gauss se ha demostrado errónea.

Sospecho que lo que ocurre aquí es que las condiciones de contorno (no adecuadas) no garantizan una única E campo.

Ver Wiki's Teorema de unicidad de la ecuación de Poisson

Answer 3

Añadiendo una redacción ligeramente diferente, ya que se trata de una cuestión sutil que ha surgido de una u otra forma de nuevo y de nuevo y de nuevo y de nuevo de una u otra forma. El resultado final es el mismo tanto si consideramos la carga eléctrica (que puede tener valores positivos y negativos) como la masa (que, por supuesto, sólo puede ser no negativa).

El núcleo de la cuestión es tratar de describir las propiedades de un sistema que no está bien definido. Olvídate del equilibrio; una distribución homogénea infinita se encuentra con problemas de existencia mucho antes de que eso surja.

Cualquier distribución física de la carga (de tipo eléctrico o de masa) debería ser alcanzable en el límite de una secuencia (contable) de distribuciones finitas, para las que la física está en tierra firme. Añade un poco aquí, luego un poco allá. Sin embargo, hay múltiples formas de añadir, por ejemplo, cáscaras de material, de manera que el límite del proceso sea "una distribución infinita y uniforme", y no coinciden en todos los aspectos.

Considere un punto $\vec{r}$ en $\mathbb{R}^3$ donde el origen se elige para estar en otro lugar. Considere la posibilidad de añadir cáscaras esféricas de carga centradas en el origen, empezando por las más pequeñas. Las primeras inducirán una aceleración neta de cualquier carga en $\vec{r}$ , pero después de un punto las conchas abarcarán $\vec{r}$ y por lo tanto no contribuirá a la aceleración. Resumiendo, el efecto total es distinto de cero. Sin embargo, una elección diferente del origen, que debería haber sido arbitraria, conduce a un resultado diferente. Las cantidades que se quieren asociar a la distribución infinita (campo eléctrico, potencial gravitacional, lo que sea) depende de cómo se construya y no hay una forma "natural" clara de hacerlo.

Su distribución infinita, tomada en el sentido positivista para incluir todos los efectos que puede tener sobre los observables, simplemente no existe (matemáticamente, no sólo físicamente), y por tanto no podemos especular sobre cuáles podrían ser esos efectos sobre los observables.

Answer 4

Pocos comentarios:

1. Si todos los "puntos" del espacio están igualmente cargados, entonces se definirá un nuevo vacío. Se trata de una referencia global. Es como un mar de Dirac. Entonces, tal vez la constante dieléctrica del vacío era diferente.

2. La elección de un punto, para ser el punto "cero", no rompe la invariancia de traslación del espacio, a menos que, matemáticamente hablando, la medida de ese punto cero en el espacio sea distinta de cero. Es decir, la medida de un punto fuera de R es cero. Sin embargo, la medida de un punto, fuera del espacio discreto, es distinta de cero (porque el conjunto es contable).

En el caso de que el punto cero posea una medida distinta de cero, el espacio se curva alrededor del punto "cero" elegido (como se ha mencionado anteriormente, todo se cancela, pero no la contribución del punto cero).

E. Atzmon

Answer 5

También en términos simples. En un universo que es infinito con una distribución uniforme de materia oscura siempre estás en el centro de esa distribución. La gravedad en una cáscara esférica, si lo calculas, siempre va a cero dentro de una cáscara esférica. Por eso la gravedad en la tierra no va al infinito. Al acercarse a la tierra la gravedad aumenta con la distancia en 1/r^2. Sin embargo, cuando llegamos a la tierra y pasamos por la cáscara esférica exterior de la materia, la gravedad de esa cáscara ahora se cancela. El volumen de esa materia disminuye en función de r^3. El resultado después de hacer las cuentas es una disminución lineal de la gravedad hasta llegar a cero en el centro de la tierra. Un universo infinito de materia uniformemente distribuida sin centro definido aporta una gravedad nula en todas partes porque siempre estás en el centro de una esfera. Esto podría hacernos cuestionar si tal infinito puede realmente existir. Al menos la lógica parece asimilar la idea de infinito.

En este caso, el campo eléctrico estático puede considerarse de forma similar al del campo gravitatorio.