Progresión geométrica con sólo diferencia y no proporción

Question

Su dado que "En una determinada serie geométrica, el cuarto término supera al tercero en $2$ y supera el segundo término en $5$ " y se supone que debo encontrar el tercer término de esta progresión geométrica.

Así que digamos que dejo $g_1$ sea el primer término, $g_2$ sea el segundo término, $g_3$ sea el tercer término y $g_4$ sea el cuarto término.

Sé que voy a conseguir estos 2 eqns

$$g_4-g_3 = 2$$ $$g_4-g_2 = 5$$

2 eqns, 3 incógnitas, no se pueden resolver.

Sin embargo, en una secuencia geométrica, están relacionados por la relación común $r$ . ¿Cómo se resolvería entonces esta cuestión?

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $g_2 = g_1r$ donde $r$ es la proporción común. Igualmente, $g_3 = g_2r$ pero como $g_2 = g_1r$ tenemos $g_3 = g_1r^2$ . En general, $g_{n+1} = g_1r^n$ . Utilizando esta expresión para $g_3$ , $g_4$ y $g_5$ , se obtendrán dos ecuaciones con dos incógnitas, $g_1$ y $r$ .

Como alternativa, puede utilizar la misma idea para escribir ambos $g_4$ y $g_2$ en función de su cantidad deseada $g_3$ y la relación común $r$ . Es decir, utilizar el hecho de que $g_4 = rg_3$ y $g_2 = \dfrac{g_3}{r}$ . Entonces, al resolver las dos ecuaciones, obtendrás $r$ y $g_3$ . En el método anterior, se encontraría $r$ y $g_1$ , entonces hay que calcular $g_3 = g_1r^2$ .

Answer 2

Puede expresar todos los $g_n$ utilizando la proporción común: $$g_n=ar^n$$ o puede expresar sólo $g_4$ en términos de $g_2$ y $g_3$ : $$g_4=\frac{g_3^2}{g_2}$$ De cualquier manera, sustituye la fórmula en las ecuaciones que ya tienes y resuelve las dos incógnitas restantes.

Answer 3

Se puede hacer sin ni siquiera escribir las ecuaciones:

El aumento de $g_2$ a $g_3$ es $3$ (a saber $5-2$ ).

El aumento de $g_3$ a $g_4$ es $2$ .

Como la progresión es geométrica, estos incrementos son proporcionales a $g_2$ y $g_3$ respectivamente. Así que $g_3$ debe ser dos tercios de $g_2$ .

Qué número aumenta por $3$ cuando se toma un tercio de ella fuera ? La única posibilidad es que $g_2$ debe ser $-9$ y luego $g_3$ es $-6$ .

Answer 4

$g_4 - g_2 = 5$ Así que $r^2 g_2 - g_2 = 5$ .

$g_4 - g_3 = 2$ Así que $r^2 g_2-rg_2=2$ .

$$5= r^2g_2 - g_2 = (r^2-1)g_2=(r-1)(r+1)g_2.\tag1$$

$$2 = r^2g_2 - rg_2 = (r-1)rg_2.\tag2$$

Dividiendo ambos lados de $(1)$ por ambas partes de $(2)$ obtenemos $$ \frac52 = \frac{r+1}{r}. $$ Así que $r=2/3$ . Y luego de $(2)$ obtenemos $g_2 = -9$ .

Y luego $g_3=-6$ y $g_4=-4$ .