Categoría aditiva que no es abeliana

Question

¿Cuál es un ejemplo sencillo, sin entrar en el lío de las categorías trianguladas, de una categoría aditiva que no sea abeliana?

Answer 1

Otro buen ejemplo es la categoría de haces vectoriales de dimensión finita sobre un espacio base fijo (con mapas de haces sobre la identidad como morfismos).

Si el espacio base no es demasiado simple (basta con el intervalo), entonces esta categoría no es (pre)abeliana porque no hay, en general, ni núcleos ni cokernels. Intuitivamente hablando, el candidato obvio para el núcleo de un mapa de paquete no necesita formar un paquete vectorial porque su dimensión no necesita ser localmente constante.

Answer 2

Un ejemplo bastante explícito que proviene del álgebra cuántica.

Considere el anillo $K_h:=\mathbb K[[h]]$ de series de potencias formales con coeficientes en el campo $\mathbb K$ (por ejemplo $K=\mathbb R)$ . Sea $\mathcal C_f$ sea la categoría de los libres topológicamente $K_h$ módulos, es decir, todos aquellos $K_h$ -que son isomorfos a módulos de la forma $M[[h]]$ , denotando por $M$ cualquier $K$ -espacio vectorial. Morfismos $\varphi : M[[h]]\rightarrow N[[h]]$ son series de potencia formales $\sum_{i\geq 0} \varphi_i h^i$ con $\varphi_i: M\rightarrow N$ morfismo de $K$ -espacios vectoriales. Si $\varphi : M[[h]]\rightarrow N[[h]]$ con $\varphi=\sum_{i\geq 0} \varphi_i h^i$ y $\psi : N[[h]]\rightarrow Q[[h]]$ con $\psi=\sum_{i\geq 0} \psi_i h^i$ son morfismos en $\mathcal C_f$ entonces su composición es el morfismo $\psi\circ\varphi$ con la expansión en serie de la potencia

$\sum_{i+j\geq 0}(\psi_j\circ\varphi_i) h^{i+j}$ .

$\mathcal C_f$ es aditivo con el biproducto $M[[h]]\oplus_h N[[h]]:=(M\oplus N)[[h]]$ ; no es abeliano porque el núcleo de la inclusión (que es un morfismo en $\mathcal C_f$ )

$i: M\rightarrow M[[h]]$ , $m\mapsto i(m)=(m,0,0,\dots)$

es decir $coker(i)=hM[[h]]$ no es un objeto en $\mathcal C_f$ . De hecho, no existe ningún $\mathbb K$ -espacio vectorial $N$ y el isomorfismo $\rho: hM[[h]] \rightarrow N[[h]]$ en $\mathcal C_f$ si tal morfismo $\rho$ existía, entonces no sería un isomorfismo ya que cualquier objeto en $N[[h]]$ de la forma $(n,0,0,...)$ no pertenece a la imagen de $\rho$ para $n\neq 0$ .