Categoría aditiva que no es abeliana

Question

¿Cuál es un ejemplo sencillo, sin entrar en el lío de las categorías trianguladas, de una categoría aditiva que no sea abeliana?

Answer 1

Se han dado muchos ejemplos ligeramente complicados, pero ¿qué pasa con la categoría de espacios vectoriales pares sobre un campo?

Answer 2

En las dimensiones infinitas, se desata el infierno. Por ejemplo, ni la categoría de espacios de Banach ni la de espacios de Hilbert, aunque sean aditivas, son abelianas.

Answer 3

La categoría de módulos finitamente generados sobre un anillo noetheriano.

La categoría de módulos filtrados sobre un anillo es un ejemplo dado en Gelfand-Manin.

Answer 4

Hay al menos dos tipos de ejemplos (interesantes).

I. Cuando podemos obtener una categoría abeliana, pero tenemos que añadir más (co)núcleos: 1) la categoría de módulos libres sobre un anillo; 2) la categoría de módulos proyectivos sobre un anillo; 3) la categoría de haces vectoriales sobre un espacio topológico (de hecho, 3 es un caso particular de 2). (De 1 o 2 se obtiene la categoría abeliana de todos los módulos sobre el anillo, de 3 - la categoría abeliana de gavillas de espacios vectoriales sobre X).

II. Cuando ya tenemos (co)núcleos ("la categoría es preabeliana") pero no todos los mono/epimorfismos son normales. Como se explica en otra respuesta, un ejemplo es la categoría de módulos filtrados.

Answer 5

Hay una ligera modificación de un ejemplo que casi funciona pero que fue eliminado: tomar la categoría de Hausdorff grupos abelianos topológicos. La coimagen de un morfismo en esta categoría es su imagen en el sentido ordinario, pero la imagen es el cierre de la coimagen (ejercicio), por lo que no es necesario que ambas coincidan en general.

Como menciona Matt E en un comentario, añadir topologías, al igual que añadir filtraciones, es una forma fácil de provocar este tipo de cosas. Del mismo modo, podríamos tomar Hausdorff espacios vectoriales topológicos, etc.