¿Qué es un grupo de Lie en términos sencillos?

Question

Me cuesta entender el concepto. ¿Puede alguien explicármelo?

Answer 1

Creo que la comprensión llega a través de los ejemplos. El ejemplo más fundamental creo que es el grupo de rotación. Consideremos la esfera $S^2\subset \mathbb{R}^3$ . La esfera tiene simetrías rotacionales. Si giramos la esfera en cualquier ángulo, la esfera no cambia.

El conjunto de todas las rotaciones forma un grupo de Lie. La propiedad de grupo significa básicamente que si giramos la esfera sobre cualquier ángulo $\alpha$ , después de esto sobre un ángulo $\beta$ Es lo mismo si lo hubiéramos girado de una sola vez (sobre algún ángulo diferente). También cualquier rotación tiene una inversa (girar sobre el ángulo opuesto). Esto hace que las rotaciones sean un grupo. El "Lie" en grupo de Lie significa que estas rotaciones pueden hacerse arbitrariamente pequeñas. Muchas rotaciones pequeñas hacen una gran rotación.

Los grupos de Lie recogen el concepto de "simetrías continuas".

Answer 2

Considere el conjunto de $(n\times n)$ matrices que tienen un determinante distinto de cero. Tal matriz corresponde a un sistema de ecuaciones lineales ( $n$ ecuaciones en $n$ incógnitas) que tiene una solución única. Se puede pensar en la solución como el único punto de intersección entre la gráfica de una función y un hiperplano horizontal. Aquí es útil pensar en $n=1$ . En otras palabras, los coeficientes del sistema corresponden a una transformación del espacio: las variables $x_1, \ldots x_n$ se transforman en $\sum a_{ij} x_i$ . El conjunto de estas transformaciones forma un grupo: las matrices pueden multiplicarse, cada una tiene una inversa, la multiplicación es asociativa y la transformación identidad fija cada punto del espacio.

Intuitivamente, es fácil ver qué transformaciones están cerca unas de otras. Son cercanas si mueven puntos que están cerca a puntos que están cerca. Aritméticamente, si las entradas de la matriz están próximas, las transformaciones están próximas: así $0.14x + .33y$ es una aproximación razonable a $x/7+y/3$ .

Así, el set de los invertibles $(n\times n)$ matrices es un espacio de los invertibles $(n\times n)$ matrices. Lo que no es fácil de ver para un profano es que sus características espaciales se definen a través del determinante ya que como conjunto, el $(n\times n)$ son un subconjunto de $n^2$ -espacio. Las matrices no singulares son el pull-back de un valor regular de la función determinante. [Hay una pequeña mentira aquí: esto es cierto para las matrices de determinante 1, pero todas las matrices de determinante no nulo se deforman en ese espacio más pequeño].

Una característica espacial importante es que estas matrices forman una variedad suave. Esto es algo análogo a la superficie de una esfera (que NO es un grupo de mentira), la superficie de un toroide (que sí lo es) o la $3$ -que consiste en el conjunto de $(x,y,z,w)$ tal que $x^2+y^2+z^2+w^2=1$ (que también resulta ser un grupo de Lie).

A partir de estos ejemplos, abstraemos la idea de un grupo de Lie, que es un grupo (que puede considerarse como un conjunto de transformaciones o simetrías) que tiene la estructura de un colector liso, es decir, que a pequeña escala no se distingue del espacio euclidiano ordinario. Los mapas de multiplicación e inversión son funciones diferenciables. Y estas multiplicaciones ocurren entre pares de simetrías --- no deben confundirse con la acción de las matrices sobre el espacio vectorial que es donde comencé la discusión.

Algunos ejemplos son la recta real, los números reales distintos de cero, el círculo, el toro, la $3$ -esfera, el conjunto de rotaciones del espacio tridimensional, y los grupos unitarios especiales cuyas representaciones determinan las partículas en la física.

Hay algunos pequeños problemas con la definición que he dado. Un colector liso es un espacio topológico paracompacto y de Hausdorff (ninguna de las dos definiciones tendrá importancia para la comprensión de los profanos), y que está cubierto por gráficos de coordenadas con propiedades específicas. Imagino que la Wikipedia tiene las definiciones pertinentes articuladas cuidadosamente.

Answer 3

La teoría de grupos es el estudio de la simetría. Los grupos de Lie fueron inventados por Lie para estudiar las simetrías de las ecuaciones diferenciales. Puede que le guste el artículo:

Starrett, John. "Resolución de ecuaciones diferenciales por grupos de simetría". Amer. Math. Monthly 114 (2007), no. 9, 778-792. MR 2360906 (autor preimpresión ) .

Describe cómo resolver algunos problemas razonables de calc-2 o calc-4 utilizando la simetría y puede servir como introducción a lo que hacen los grupos de Lie. También tiene bonitas imágenes de curvas que fluyen suavemente.

Answer 4

Es un grupo que es un colector suave. Técnicamente, la estructura del grupo y la topología deberían estar relacionadas, es decir $X\times X\to X, (a,b)\mapsto ab^{-1}$ debe ser suave. Por ejemplo, $\mathbb{R}^n$ el círculo, un toroide (superficie de un donut) las tres esferas ( $\mathbb{R}^3$ con un punto en el infinito) pueden recibir la estructura de un grupo de mentira.