Tengo una pregunta sobre las series de Fourier y las funciones de filtro que está relacionada con la pregunta aquí
Considere la aproximación de la serie de Fourier para $x\in [0,2 \pi)$ que
$$f_n(x)=\sum_{|k|\leq n} c_k \phi_k(x)$$ donde $$\phi_k(x)=\frac{1}{\sqrt{ 2 \pi}}e^{ikx}$$
Una función de filtro es una función $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ satisfaciendo
1) g es una función par
2) $g(0)=1$
3) $g(\xi)=0$ , $|\xi|\geq 1$ .
También definimos $$f^g_n(x)=\sum_{|k|\leq n}g(\frac{k}{n})c_k\phi_k(x)$$
Me dan lo siguiente y se le pide que encuentre una expresión explícita en términos de $\phi_k$ y $g$ para una función bi-variable de valor complejo G(x,y) tal que .
$$f_n^g(x)=\int_0^{2\pi}f_n(y)G(x,y)dy$$
Sé que si g es idénticamente igual a 1 entonces la respuesta es $G(x,y)=\delta(x-y)$ del enlace anterior; sin embargo, me ha costado encontrar la solución general.
Mi intento:
Hay dos intentos distintos que hice para este problema:
1) $$\frac1{\sqrt{2\pi}}\sum c_k\int^{2\pi}_0 e^{iky}G(x,y)dy=\frac1{\sqrt{2\pi}}\sum g(k/n) c_k e^{ikx}$$
$$\sum c_k \left(\int^{2\pi}_0 e^{iky}G(x,y)dy-g(k/n)e^{ikx}\right)=0$$
Es natural suponer que $$\int^{2\pi}_0 e^{iky}G(x,y) dy=g(k/n)e^{ikx}\qquad{(1)}$$ Para que yo consiga $$G(x,y)=g(k/n)\delta(x-y)$$ pero entonces siento que necesito que mi respuesta sea independiente de k y n. Además, no utilicé las propiedades de una función de filtro por lo que siento que esto no es correcto.
2) He intentado relacionar $f_n^g(x)$ a los coeficientes de Fourier de $G(x,y)'s$ Serie de Fourier en y.
Déjalo,
$G(x,y)=\sum_{|k|\leq n} A_k \phi_k(y)$ donde
$A_k=\langle G(x,y), \phi_k(y)\rangle_{L^2}=\int_0^{2\pi}G(x,y)\bar{\phi(y)}dy$
Entonces, $$\int_0^{2\pi}f_n(y)G(x,y)dy=\int_0^{2\pi}\sum_{|k|\leq n} c_k \phi_k(y)\sum_{|k|\leq n} A_k \phi_k(y)dy = \sum_{|k|\leq n} g(k/n)c_k \phi_k(y)$$
Pero luego me quedé con este enfoque. Estaba tratando de definir el $A_k$ para saber qué $G(x,y)$ sería.
