¿Cómo podemos saber que acabaremos con exactamente 30 dígitos de convergencia por casi cada 22 unidades i en el límite superior?

Question

Me he dado cuenta de un hecho notable sobre la tasa de convergencia de la siguiente integral de la constante MRB (m).

$$m=-\Im\left(\int_1^{i \infty } \frac{t^{1/t}-1}{\sin (\pi t)} \, dt\right).$$

Sea m una aproximación del Constante MRB .

$$m=\sum _{n=1}^{\infty } \frac{n^{1/n}-1}{\cos(\pi n) }.$$

m = N[NSum[Exp[ I Pi n] (1 - (1 + n)^(1/(1 + n))), {n, 0, Infinity}, \
WorkingPrecision -> 1207, Method -> "AlternatingSigns"], 1200];

Sea i n un límite superior de

$$m_{in}=\Im\left(\int_1^{i n} \frac{t^{1/t}-1}{\sin (\pi t)} \, dt\right),n\in{\displaystyle \mathbb {N} }.$$ Lo cual, a medida que n se hace grande, acaba dando exactamente 30 dígitos para la mayoría de los incrementos de 22i unidades de n.

Table[{22 n "as an upper bound gives around ", -(MantissaExponent[
       m + Im[NIntegrate[(t^(1/t) - 1)/Sin[Pi t], {t, 1, 22 n I}, 
          WorkingPrecision -> 1200, MaxRecursion -> 11]]][[2]]), 
   "accurate digits."}, {n, 1, 30}] // TableForm

Table[{22 n "as an upper bound gives around ", -(MantissaExponent[
       m + Im[NIntegrate[(t^(1/t) - 1)/Sin[Pi t], {t, 1, 22 n I}, 
          WorkingPrecision -> 1800, MaxRecursion -> 11]]][[2]]), 
   "accurate digits."}, {n, 31, 40}] // TableForm

Me he dado cuenta de lo siguiente:

m = N[NSum[Exp[I Pi n] (1 - (1 + n)^(1/(1 + n))), {n, 0, Infinity}, 
    WorkingPrecision -> 1807, Method -> "AlternatingSigns"], 1800];

Table[{22 n "as an upper bound gives around ", -(MantissaExponent[
       m + Im[NIntegrate[(t^(1/t) - 1)/Sin[Pi t], {t, 1, 22 n I}, 
          WorkingPrecision -> 1800, MaxRecursion -> 12]]][[2]]), 
   "accurate digits."}, {n, 40, 46}] // TableForm

Mi motivación es que no se sabe si m es racional. Estoy pensando que si siempre surgen nuevos dígitos de m a partir de límites superiores cada vez más altos de $\frac{t^{1/t}-1}{\sin (\pi t)},$ Sólo supongo que m sería irracional.

Answer 1

He aquí una explicación heurística del comportamiento observado.

Escribe la integral como una serie infinita, $m= \sum_{k = 1}^\infty a_k$ con $a_k = \int_{i kM}^{i (k+1)M} \frac{t^{1/t}-1}{\sin (\pi t)} \, dt$ para $k \ge 2$ y la modificación obvia para $k = 1$ . Está calculando las sumas parciales de estas series con $M = 22$ y tu pregunta es por qué los restos de la serie disminuyen en un factor de $10^{-30}$ por cada plazo adicional.

El integrando es un cociente con numerador $t^{1/t} - 1 \approx \log t\, / t$ y el denominador $1/\sin \pi t \approx e^{i \pi t}$ para grandes imaginarios $t$ . Por lo tanto, los valores absolutos de estos términos son $|a_k| \approx \log |kM|/|kM| \cdot e^{-\pi kM}$ . Esto implica $$ \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|} \to e^{-\pi M} $$ como $k \to \infty$ . En consecuencia, los restos $\sum_{k = N}^\infty$ se comportan como $e^{- \pi N M}$ . Disminuyen en un factor de $e^{-\pi M}$ por cada plazo adicional. Y para $M = 22$ Esto es aproximadamente $10^{-30}$ y se prevé un aumento de la precisión de 30 dígitos siempre que el límite superior de integración aumente en $22i$ .