Formas cuadráticas binarias equivalentes

Question

Dado $f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$ sabemos que no es necesariamente equivalente a $f(-x,y)$ aunque representen los mismos números.

Por ejemplo, nuestro libro de texto dice que $x^2+xy+2y^2$ equivale a $x^2-xy+2y^2$ pero $3x^2+xy+4y^2$ no es equivalente a $3x^2-xy+4y^2$ . ¿Cómo puedo ver esto?

En realidad pensé $f(x,y)$ y $f(-x,y)$ no puede ser equivalente, ya que la transformación tiene determinante $-1$ .

Espero que alguien pueda aclararlo.

Answer 1

La cuestión es que actuando por la matriz

$$ \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$

o su negativo no es la única manera de pasar de la forma $f(x,y)$ a la forma $f(-x,y)$ .

Puede comprobar a mano que actuando en el formulario $f(x,y) = x^2 + xy + 2y^2$ por la matriz

$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$

produce la forma deseada $f(-x,y) = x^2 - xy + 2y^2$ y esta matriz tiene el determinante $1$ .

Demostrando que ninguna matriz de determinante 1 llevará $3x^2 + xy + 4y^2$ a $3x^2 - xy + 4y^2$ es mucho más difícil. La manera más fácil es aprender sobre la reducción de formas y luego ver que estas dos formas están en diferentes clases de equivalencia reduciéndolas y viendo que se obtienen diferentes formas reducidas.

(Se puede demostrar que en una clase, o bien cada forma $f(x,y)$ tiene la propiedad de ser equivalente a $f(-x,y)$ o ninguna forma lo hace. Más tarde, cuando se aprende sobre la composición de formas, se descubre el resultado seminal de Gauss de que las clases primitivas de formas de discriminante $d$ formar un grupo. La operación de pasar de $f(x,y)$ a $f(-x,y)$ es la inversión en este grupo, por lo que las clases de formas con $f(x,y)$ equivalente a $f(-x,y)$ son precisamente las clases de orden que dividen $2$ en el grupo de clase).