Yo veo los ideales de un campo numérico algebraico como celosías y los ideales primos son los que no se pueden refinar.
¿Cómo podemos formarnos una idea de los ideles y los adeles?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que la respuesta es que realmente no se pueden imaginar de la misma manera que los ideales.
El anillo de adeles consiste realmente en puntos descritos por infinitas coordenadas, todas ellas pertenecientes a diferentes campos, la cuestión no es poder representarlos sino entender lo que se supone que representan. La razón por la que los ideales tienen tal representación pictórica es porque los campos numéricos pueden ser incrustados en $\mathbb{C}$ y así tenemos la geometría.
Considerando dos anillos $R,S$ , sabes que puedes formar su producto directo $R\times S$ . Esto consiste en "coordenadas" $(r,s)$ con $r\in R, s\in S$ .
A lo que pertenecen los adeles es a una versión "infinita" de esto, el producto directo $\Pi_{v} K_v$ de todas las terminaciones diferentes $K_v$ del campo numérico $K$ . Sin embargo, no es este anillo completo.
Aunque ya podemos ver que no hay forma de visualizarlos de la misma manera que lo hacemos con los ideales, los componentes se encuentran principalmente en $p$ -ádico (aparte de cuando $v$ es un lugar arquimédico, en cuyo caso sí obtenemos elementos dentro de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ en esos lugares). Lo mejor que puedo sugerir es que tal vez se pueda "imaginar" un adele a través de sus componentes arquimédicos, pero esta es una forma muy burda de verlos, ya que la mayor parte de la información importante se pierde.
Ok, tal vez debería decir un poco sobre el punto de adeles. De hecho lo voy a hacer motivando los ideles que forman el grupo unidad del anillo de adeles.
Por definición, un ídolo de un campo numérico $K$ es un elemento $(a_v)_v\in\Pi_{v} K_v^{\times}$ tal que $a_v \in O_v^{\times}$ para todos los casos, salvo para un número finito de casos no arquimédicos $v$ .
¿Por qué tenemos esta condición? Bueno, la cuestión es que modela el comportamiento de los ideales fraccionarios.
Dado un ídem $(a_v)_v$ de $K$ sabemos que cada lugar no arquimédico $v$ tiene un ideal primo $\mathfrak{p}_v$ que se le ha asignado (y viceversa, en una correspondencia de uno a uno).
Así que podemos crear un ideal fraccionario a partir de $(a_v)_v$ a través de $\Pi_{v}\mathfrak{p}_v^{\text{ord}_v(a_v)}$ donde este producto es sobre lugares no arquimédicos $v$ .
De hecho, la única ambigüedad en esta construcción proviene de la multiplicación por unidades en cada lugar no arquimédico... por lo que hemos demostrado que $\mathbb{I}_K / E_K \cong I_K$ , donde $\mathbb{I}_K$ son los ídolos, $E_K$ es el subgrupo donde cada componente se encuentra en $O_v^{\times}$ y $I_K$ es el grupo de ideales fraccionarios de $K$ .
Vemos que el "contenido en $O_v^{\times}$ en todos los lugares, pero finitamente" condición es realmente capturar el hecho de que un ideal fraccionario sólo tiene finitamente muchos primos con exponentes negativos en su factorización primaria única.
Los adeles tienen una estructura similar y se pueden utilizar bastante para explicar cosas de la teoría de números, como el teorema de la unidad de Dirichlet y la finitud del número de clase. Son demostraciones más naturales que las que hayas visto antes.
Los ídolos tienen una historia natural de uso en la teoría de campos de clase para explicar cómo funcionan las extensiones abelianas infinitas de forma similar a como funciona la teoría ideal para las extensiones finitas.
En la teoría numérica moderna, los adeles son importantes cuando se trabaja con formas automórficas y grupos algebraicos.
Espero que esto responda a su pregunta.
