Función que converge a $\infty$ en cada punto

Question

Me preguntaba si existe una función $f:\Bbb R\to\Bbb R$ que satisface: $$\text{For all } y\in\Bbb R: \lim_{x\to y} f(x)=\infty.$$

Intuitivamente me parece que esto es imposible. Pero no veo cómo demostrarlo.

Por definición, tendríamos $$\forall y \in \Bbb R: \forall r \in \Bbb R_+: \exists \delta > 0: \forall x \in (y-\delta, y+\delta)\setminus\{y\}: f(x)>r,$$ y no sé cómo proceder.

Answer 1

Esta función no existe, porque $\mathbb{R}$ es incontable y completo.

Dejemos que $A_n = \{x \in [0,1]: |f(x)| \leq n\}$ . Si $A_n$ fuera infinito, podríamos extraer una subsecuencia estrictamente monótona $x_k$ convergiendo a algún $x \in [0,1]$ por la compacidad. Dado que $|f(x_k)| \leq n$ tenemos $\lim_{x_k\rightarrow x}f(x_k) \neq \infty$ , lo que viola la suposición. Por lo tanto, $A_n$ tiene que ser finito, pero entonces $[0,1] = \bigcup_{n=1}^\infty A_n$ sólo puede contener un número contable de puntos, lo cual es una contradicción.