Definición de $\mathbb{C}$ -y el álgebra $\mathbb{C}$ -mapas de álgebra en Invitation to Algebraic Geometry

Question

Estoy trabajando con el libro de Karen Smith An Invitation to Algebraic Geometry, y estoy confundido con el siguiente problema del texto.

Dejemos que $R$ ser un $\mathbb{C}$ -y dejemos que $I$ sea un ideal de $R$ . Demostrar que la suryección natural $R\rightarrow R/I$ es un $\mathbb{C}$ -mapa de álgebra.

La razón por la que esta pregunta me confunde es que ella define un $\mathbb{C}$ -para ser un anillo $R$ que contiene $\mathbb{C}$ como un subring. Además, un $\mathbb{C}$ -no está definido, pero un $\mathbb{C}$ -se define el homomorfismo de álgebra, así que asumo que los dos son lo mismo. Define un $\mathbb{C}$ -de la siguiente manera:

Si $R$ et $S$ son $\mathbb{C}$ -entonces un mapa $$R\xrightarrow\phi S$$ se dice que es un $\mathbb{C}$ -si es un mapa de anillo (homomorfismo) y si es lineal sobre $\mathbb{C}$ Es decir, $\phi(\lambda r)=\lambda\phi(r)$ para todos $\lambda\in\mathbb{C}$ et $r\in R$ .

La razón por la que esto me confunde es que si $I$ es un ideal tal que $R/I$ no es un $\mathbb{C}$ -álgebra, entonces no podemos tener una $\mathbb{C}$ -de álgebra, tal como se ha definido. Por lo tanto, ¿debería hacer la suposición de que $R/I$ es un $\mathbb{C}$ álgebra o una de las definiciones es incorrecta. Sólo estoy atascado en el intento de incluso analizar dónde empezar en el problema, ya que me parece que podría no ser cierto con las definiciones dadas como claramente si tomamos $I=R$ entonces $R/R$ claramente no es un $\mathbb{C}$ -álgebra como se define.

Answer 1

Con esta definición, el anillo cero no es un $\mathbb{C}$ -álgebra, por lo que $I\ne R$ debe ser asumido.

Supongamos, en cambio, que $I\ne R$ . Entonces $I\cap\mathbb{C}=\{0\}$ por lo que el mapa inducido $$ \mathbb{C}\to R/I $$ es un homomorfismo de anillo inyectivo y por tanto $R/I$ tiene un subring isomorfo a $\mathbb{C}$ . Supongo que el autor quiere que identificar esto con $\mathbb{C}$ . Pero esta es una mala manera de expresar las cosas, a menos que se demuestre que una vez que un anillo tiene $\mathbb{C}$ como un subring, entonces este es el único subringing isomorfo a $\mathbb{C}$ . Lo cual es, desgraciadamente, falso.

Ampliar $\pi$ a una base de trascendencia $\{\pi\}\cup B$ de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{Q}$ . Entonces el subcampo generado por $B$ es un subcampo propio de $\mathbb{C}$ y tiene un cierre algebraico $K$ en $\mathbb{C}$ lo cual es de nuevo apropiado, porque no contiene $\pi$ . Sin embargo, el grado de trascendencia de $K$ en $\mathbb{Q}$ es el mismo que el de $\mathbb{C}$ Así que $K$ et $\mathbb{C}$ son isomorfas.

Entonces, que subregión de $R/I$ isomorfo a $\mathbb{C}$ ¿tomamos?

Una famosa cita (atribuida a Albert Einstein, pero posiblemente no sea suya) dice

todo debe ser lo más sencillo posible, pero no más simple.

Este es un caso en el que la autora intenta evitar las "complicaciones" con la definición estándar, pero se encuentra en el agujero que ella misma cavó.

---

Una salida podría ser definir un $\mathbb{C}$ -como un anillo con un especificado subringing isomorfo a $\mathbb{C}$ . Pero esto no resuelve el problema, a menos que se defina $R/I$ como $\mathbb{C}$ -especificando el mencionado subring construido a partir del subring especificado de $R$ .

No se gana demasiado con respecto a la definición estándar: un $\mathbb{C}$ -es un par $(R,\lambda_R)$ , donde $\lambda_R\colon \mathbb{C}\to R$ es un homomorfismo de anillo. Si $(R,\lambda_R)$ et $(S,\lambda_S)$ son $\mathbb{C}$ -algebras, un homomorfismo de anillo $f\colon R\to S$ es un $\mathbb{C}$ -homomorfismo de álgebra si $f\circ\lambda_R=\lambda_S$ .

Ahora el ejercicio se convierte en una simple observación: si $I$ es un ideal de la $\mathbb{C}$ -Álgebra $(R,\lambda_R$ ), entonces el homomorfismo $\lambda_{R/I}\colon\mathbb{C}\to R/I$ , $\lambda_{R/I}=p\circ\lambda_R$ , donde $p\colon R\to R/I$ es la proyección canónica, es el único homomorfismo de anillo que hace que $R/I$ en un $\mathbb{C}$ -de modo que $p$ es un $\mathbb{C}$ -homomorfismo de álgebra.

Entonces uno se olvida de $\lambda_R$ porque normalmente está claro por el contexto.

Answer 2

La definición dada de $\mathbb{C}$ -no es la definición estándar, y tienes razón en que el problema no tiene sentido con la definición dada ( $R/I$ prácticamente nunca literalmente contienen $\mathbb{C}$ como un subring; en el mejor de los casos se puede esperar una copia isomorfa de $\mathbb{C}$ pero incluso eso fallará cuando $I=R$ como has observado). (Una formulación de) la definición estándar de un (conmutativo) $\mathbb{C}$ -es un anillo conmutativo $A$ junto con un homomorfismo de anillo $f:\mathbb{C}\to A$ . En particular, este homomorfismo $f$ no tiene por qué ser literalmente la inclusión de $\mathbb{C}$ como un subring de $A$ y ni siquiera tiene que ser inyectiva (aunque si no es inyectiva, entonces es idéntica $0$ desde $\mathbb{C}$ es un campo así que $A$ debe ser el anillo cero). A $\mathbb{C}$ -homomorfismo de álgebra (o $\mathbb{C}$ -de álgebra) entre $\mathbb{C}$ -algebras $A,B$ es un homomorfismo de anillo $h:A\to B$ tal que $h\circ f=g$ donde $f:\mathbb{C}\to A$ et $g:\mathbb{C}\to B$ son los $\mathbb{C}$ -estructuras de álgebra en $A$ et $B$ . (De manera equivalente, un $\mathbb{C}$ -es un homomorfismo de anillo que también es $\mathbb{C}$ -lineal, donde se hace $A$ a $\mathbb{C}$ -espacio vectorial definiendo $\lambda\cdot a=f(\lambda)a$ y de forma similar para $B$ .)

Obsérvese, en particular, que según esta definición, un mismo anillo puede admitir varios $\mathbb{C}$ -estructuras de álgebra, por lo que sigue sin tener sentido preguntarse si $R\to R/I$ es un $\mathbb{C}$ -hasta que se especifique el $\mathbb{C}$ -estructura de álgebra en $R/I$ . La forma estándar de hacerlo es dejar que el homomorfismo elegido $\mathbb{C}\to R/I$ sea la composición del homomorfismo elegido $\mathbb{C}\to R$ con el mapa de cociente $R\to R/I$ . Esto hace que el mapa cociente sea un $\mathbb{C}$ -por definición.

Answer 3

Además, un mapa ℂ-álgebra no está definido, pero un homomorfismo ℂ-álgebra está definido, así que estoy asumiendo que los dos son lo mismo.

Sí, son lo mismo.

La razón por la que esto me confunde es que si