Ejemplo de una función en $L^1[0,1]$

Question

Estoy tratando de encontrar un ejemplo de una secuencia $f_n$ en $L^1[0,1]$ (funciones integrables de Lebesgue) tales que

1. $ f_n \rightarrow 0 \forall x \in [0,1]$ ,

2. $\int_0^1 |f_n(x)| dx=1 \forall n \in \mathbb{N}$

3. la secuencia $\{ f_n \}$ no tiene un límite en $L^1[0,1]$

He pensado en el siguiente ejemplo:

$f_n(x)= n$ si $0\leq x<1/n$ et $f_n(x)= 0$ de lo contrario.

Los pasos 1 y 2 son fáciles de demostrar, pero tengo problemas con el paso número 3. ¿Puede alguien ayudarme?

Gracias.

Answer 1

La forma más directa de demostrar que esta secuencia no converge es demostrar que no es Cauchy. Mediante un cálculo directo, se puede calcular que, cuando $n > m$ , $\|f_n - f_m\|_{L^1} = 2 - \frac{2m}{n}$ . Sea $N$ sea arbitraria. Al establecer $m = N$ et $n \gg m$ , $\|f_n - f_m\|_{L^1} \approx 2$ , por lo que la secuencia no es Cauchy.