¿De cuántas maneras se pueden elegir una secuencia de tres letras de las letras de MISSISSIPPI?
Estoy un poco confundido de cómo abordar esto ya que muchas letras se repiten I=4 S=4 P=2
Entonces, en última instancia, hay 4 letras diferentes.
Para una solución de función generadora, use funciones generadoras exponenciales.
Tomemos un ejemplo que sea un poco más simple que el tuyo. ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con las letras en AABBB? Si simplemente estuvieras formando un multiconjunto de tres letras, pero no las estás ordenando, podrías dejar que $r$ sea el número de As y $3-r$ sea el número de Bs. Entonces $r$ podría ser cualquiera de $0,$ $1,$ o $2.$ Entonces el número de tales multiconjuntos es $3.$ Observa que $3$ es el coeficiente delante de $x^3$ en la expansión de $(1+x+x^2)(1+x+x^2+x^3).$ El primer factor refleja el hecho de que puedes tomar $0,$ $1,$ o $2$ As, y el segundo factor refleja que puedes tomar $0,$ $1,$ $2,$ o $3$ Bs. Dado que las As no son distinguibles y las Bs no son distinguibles, solo hay una forma de tomar un número particular de As o Bs. Por eso los coeficientes delante de las potencias de $x$ son todos $1.$
Ahora preocupémonos por cuántas formas hay de organizar las letras en un multiconjunto. Si nuestro multiconjunto tiene $r$ As y $n-r$ Bs, hay $\frac{n!}{r!(n-r)!}={}_nC_r$ formas de organizar las letras. Podemos tener esto en cuenta usando funciones generadoras exponenciales en lugar de funciones generadoras ordinarias. La forma en que funciona es que expandimos $$ \left(\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}\right)\left(\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\right). $$ Nuevamente encontramos el coeficiente de $x^3$ en la función expandida, pero esta vez multiplicamos el coeficiente por $3!.$ Una forma equivalente de decir esto es que encontramos el coeficiente de $\frac{x^3}{3!}$ en la expansión. Este coeficiente está garantizado de ser un número entero ya que efectivamente introduce coeficientes binomiales en la expansión. En el ejemplo desordenado anterior, $x^3$ surgió como la suma $1\cdot x^3 + x\cdot x^2 + x^2\cdot x.$ En el caso ordenado, obtenemos $$ \frac{1}{0!\,3!} 1\cdot x^3 +\frac{1}{1!\,2!} x\cdot x^2 +\frac{1}{2!\,1!} x^2\cdot x =\frac{1}{3!} \left({_3C_0} \cdot 1\cdot x^3 + {_3C_1} \cdot x\cdot x^2 + {_3C_2} \cdot x^2\cdot x\right), $$ que es exactamente lo que queremos. Encontramos que el número de palabras es $1 + 3 + 3 = 7.$ Esto es correcto: BBB, ABB, BAB, BBA, AAB, ABA, BAA.
Deberías ser capaz de generalizar esta idea a tu problema.
Nuestros $3$-tuplas deseadas, consistirán en $x$ M's, $y$ I's, $z$ S's y $w$ P's. Estos deben ser elegidos entre las letras de la palabra MISSISSIPI y deben sumar $3$: \begin{equation} x+y+z+w=3 \end{equation>
Las posibles soluciones a la ecuación $$x+y+z+w=3$$ bajo las restricciones anteriores sobre los valores de $x,y,z,w$, se muestran en la siguiente tabla: $$ \begin{array}{c|c|c|c} x & y & z & w \\ \hline 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array} $$ Lo que queda por hacer, es realizar la siguiente suma: $$\sum_{x+y+z+w=3}\frac{3!}{x!y!z!w!}$$ en las filas de la tabla anterior. En consecuencia obtenemos: $$\frac{3!}{1!2!}+\frac{3!}{2!1!}+\frac{3!}{3!}+\frac{3!}{3!}+\frac{3!}{1!2!}+\frac{3!}{1!2!}+\frac{3!}{1!1!1!}+\frac{3!}{2!1!}+\frac{3!}{2!1!}+\frac{3!}{1!1!1!}+\frac{3!}{1!1!1!}+\frac{3!}{1!1!1!}= \\ =3+3+1+1+3+3+6+3+3+6+6+6=44$$
Hay un error de ortografía en mi solución anterior: he escrito MISSISSIPI en lugar del correcto MISSISSIPPI. Pero espero que el método esté claro (¡incluso con una sola P!)
¿De cuántas formas se puede formar una secuencia de tres letras a partir de las letras de la palabra MISSISSIPPI?
La palabra MISSISSIPPI contiene una M, dos P's, cuatro I's y cuatro S's.
Consideramos los casos:
Caso 1: Se utilizan tres letras diferentes.
Seleccionamos tres de las cuatro letras, luego organizamos las tres letras seleccionadas en orden. $$\binom{4}{3} \cdot 3!$$
Caso 2: Se utilizan dos letras diferentes.
En este caso, una letra llena dos de las tres posiciones. Elegimos una de las tres letras que aparecen al menos dos veces en la palabra MISSISSIPPI, luego elegimos dos de las tres posiciones para esa letra. Luego llenamos la posición restante con una de las otras tres letras.
$$\binom{3}{1}\binom{3}{2}\binom{3}{1}$$
Caso 3: Se utiliza una letra.
En este caso, las tres posiciones son llenadas por la misma letra. Elegimos una de las dos letras que aparecen al menos tres veces en la palabra MISSISSIPPI para llenar esas tres posiciones. $$\binom{2}{1}$$
Total: Dado que los tres casos son mutuamente disjuntos, el número de secuencias de tres letras que se pueden formar a partir de las letras de la palabra MISSISSIPPI es $$\binom{4}{3} \cdot 3! + \binom{3}{1}\binom{3}{2}\binom{3}{1} + \binom{2}{1}$$
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La idea que tengo es primero considerar el número de combinaciones de $3$ del conjunto MISSISSIPPI, y luego multiplicar el número resultante por $3!$ para ordenar las combinaciones. Sin embargo, esto requeriría utilizar el principio de inclusión-exclusión de manera extensiva y sería tedioso.
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También puedes dividirlo en casos específicos, lo que probablemente sería más fácil. Considera las $3$-permutaciones de MII, MSS, MPP, MIS, MIP, SSS, III, PPS, PSS, etc. (No estoy seguro si las tengo todas). Luego puedes usar la fórmula $$\frac{n!}{n_1 ! n_2 ! \cdots n_k !}$$ donde $\sum_{k \le n} n_k = n$, para cada caso específico.
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De la forma en que se formuló la pregunta, diría que $11 \choose 3$ = $165$