Propiedad de los conjuntos cerrados

Question

Actualmente estoy estudiando los "Procesos de Poisson" de John Kingman y me topé con las siguientes afirmaciones: "Todo conjunto abierto $G$ es una unión contable de intervalos disjuntos $A_j$ y luego $N(G) =$ $\sum N(A_j)$ es una variable aleatoria si el $N(A_j)$ son. (1)

Todo conjunto cerrado $F$ es la intersección de una secuencia decreciente de conjuntos abiertos $G_i$ y $N(F)$ es el límite de la secuencia decreciente de $N(G_i)$ ". (2)

No entiendo por qué la primera parte de (2) es cierta, pero supongo que la segunda parte se deduce de la sigma-continuidad de la $N(G_i)$ , siempre y cuando $N(F)$ es una variable aleatoria. Agradezco cualquier consejo sobre la primera parte de (2), es decir, demostrar que todo conjunto cerrado $F$ es la intersección de una secuencia decreciente de conjuntos abiertos.

Answer 1

Esto es cierto en cualquier espacio métrico. Si $F$ es un conjunto cerrado en un espacio métrico, entonces $F$ es la intersección de los conjuntos $G_n=\{x: d(x,F) <\frac 1 n\}$ donde $d(x,F)=\inf \{d(x,y): y \in F\}$ . Además, cada $G_n$ está abierto.

Answer 2

Primera parte de (2):

Tome $$ G_j = \{x \colon \inf_{y\in F} |x - y| < 1/j\} $$ [Supongamos que estamos trabajando en $\mathbb R$ ].

Answer 3

Puedes tomar $$ F_{k} = \left\{ x+y \, : \, x \in F, \, |y| < \frac{1}{k} \right\}, $$ para que $F_k \supset F_{k+1}$ para todos $k \geq 1$ y $$ \bigcap_{k=1}^\infty F_k = F. $$