La curva sinusoidal del topólogo está conectada

Question

Acabo de encontrarme con el ejemplo de la curva sinusoidal del topólogo que está conectada pero no conectada a la trayectoria. La prueba rigurosa de la no conexión por trayectoria se puede encontrar aquí .

Pero, ¿cómo puedo demostrar que la curva está conectada? Para ser honesto, incluso intuitivamente no estoy siendo capaz de ver que la curva está conectada. Estoy pensando que si se demuestra que el punto límite de $\sin(1/x)$ como $x \to 0=0$ Entonces, se demostraría. Pero, ¿por qué es esto cierto? OMI, este límite no existe. Intuitivamente también, parece que la gráfica se comportaría de forma alocada y no se acercaría a un valor determinado ya que a tiende a $0.$

EDITAR (Brett Frankel): Hay algunas definiciones de trabajo diferentes de la curva del topólogo desde. En aras de la claridad/consistencia, he copiado a continuación la definición utilizada en el post enlazado: $$ y(x) = \begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \mbox{if $0\lt x \lt 1$,}\\\ 0 & \mbox{if $x=0$,}\end{cases}$$

Answer 1

Si el gráfico $X$ de la curva senoidal del topólogo no estuvieran conectadas, entonces habría conjuntos abiertos no vacíos disjuntos $A,B$ cubriendo $X$ . Supongamos un punto $(x,\ \sin(1/x))\in B$ para algunos $x>0$ . Entonces todo el gráfico para el positivo $x$ está contenida en $B$ , dejando sólo el punto $(0,0)$ para el conjunto $A$ . Pero cualquier conjunto abierto sobre $(0,0)$ contendría $(1/n\pi,\ \sin(n\pi))$ para que sea lo suficientemente grande $n\in\mathbb N$ Por lo tanto $A$ se cruzaría con $B$ .

Answer 2

Llama a la curva sinusoidal del topólogo $T$ y que $A = \{(x,\sin 1/x)\in\mathbb{R}^2\mid x\in\mathbb{R}^+\}$ , $B = \{(x,\sin 1/x)\in\mathbb{R}^2\mid x\in\mathbb{R}^-\}$ . Entonces $T \subseteq \overline{A\cup B} = \overline{A}\cup\overline{B}$ . No es difícil demostrar que $A$ y $B$ están conectadas (¡incluso conectadas por un camino!) y entonces sólo se necesitan dos lemas para demostrar que $T$ está conectado:

Lema 1: Si $A\subseteq X$ es un subconjunto conexo de un espacio métrico $X$ y $A\subseteq B\subseteq \overline{A}$ entonces $B$ también está conectado. Editar: Stefan H. nos recuerda que este resultado también es válido cuando $X$ es un espacio topológico general, no sólo un espacio métrico.

Lema 2: Si $A$ y $B$ están conectados, y $A\cap B\neq\emptyset$ entonces $A\cup B$ también está conectado.

Y ninguno de ellos debería ser demasiado difícil de mostrar ( Una pista: utilizar el hecho de que si $X$ está conectado y $f : X\to\{0,1\}$ es continua, entonces $f$ es constante).

Answer 3

Está claro que dos de las "piezas" de este conjunto están conectadas de hecho, están conectadas. Así que lo que tenemos que argumentar es que no hay separación entre ellas. Es decir, no es posible encontrar un par de conjuntos abiertos disjuntos tales que el " $\sin$ " parte de la curva está contenida en una y el origen está en la otra.

Así que bastará con demostrar que cualquier conjunto abierto que contenga al origen también intersectará a la otra pieza. ¿Qué ocurre si se considera una pequeña bola centrada en $0$ ?

Answer 4

Es conexo porque es el cierre de un conjunto conectado por un camino (por tanto, conectado).

Si $S=\{x\times \sin(1/x): 0<x\le 1\}$ entonces $S$ es la imagen del conjunto conectado $(0,1]$ bajo un mapa continuo, por lo que $S$ es (camino) conectado. Y la curva sinusoidal del topólogo es $(0\times[-1,1])\cup S=\bar S$ y sabemos que el cierre de un conjunto conexo es conexo.

Answer 5

Se puede definir la curva sinusoidal del topólogo como $S\subset \mathbb{R}^2$ con $S=((x,sin(1/x), x\in (0,1]))$ . Obsérvese que una función continua con $f((0,1])\subset S$ es la imagen continua de un conjunto conexo, y por tanto conectado. Basta con definir $f:(0,1]\rightarrow \mathbb{R}^2$ y observe que la restricción de un mapa continuo es continua $f:[0,1)\rightarrow S$

De hecho, puede reemplazar $(0,1]$ con cualquier subconjunto conectado $C\subset \mathbb{R}$ que no contiene $0$ . Propiedades del espacio $S$ no es necesario mostrar la conectividad, basta con construir una función continua a partir de un intervalo conectado sin $0$ en $S$ y ya está.