¿Cómo es $Gal(K^{nr}/K)$ isomorfo a $Gal(\bar{k}/k)$ ?

Question

Dejemos que $K$ sea un campo local completo con una valoración discreta. En un libro que estoy leyendo se dice que $Gal(K^{nr}/K)$ es isomorfo a $Gal(\bar{k}/k)$ pero no estaba seguro de que esto fuera cierto.

¿Cómo se ve esto? Agradecería mucho cualquier comentario o sugerencia. Gracias.

Answer 1

Existe una única extensión no ramificada $K_n/K$ de grado $n$ para cada $n$ dada por la unión de a $q^n-1^{th}$ raíz de la unidad a $K$ , donde $q$ es el tamaño del campo de residuos $k$ . De hecho, cada una de estas extensiones no ramificadas es una extensión de Galois cíclica donde el mapa de reducción Gal $(K_n/K) \to$ Gal $(k_n/k)$ es un isomorfismo ( $k_n$ es el campo de residuos de $K_n$ ). Así, al tomar los límites, la unión de los $k_n$ es $\bar{k}$ y la unión de los $K_n$ es $K^{nr}$ por lo que obtenemos un isomorfismo Gal $(K^{nr}/K) \cong$ Gal $(\bar{k}/k) \cong \lim_n \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \hat{\mathbb{Z}}$ .

Para demostrar los hechos que he mencionado, se puede utilizar el carácter de Teichmüller $\omega: k^\times \to \mathcal{O}_K^\times$ , donde $\mathcal{O}_K$ es el anillo de los enteros. El carácter de Teichmüller viene dado por $\omega(\bar{x}) = \lim_n x^{q^n}$ , donde $x$ es cualquier elevación de $\bar{x}$ en $\mathcal{O}_K$ .

Es fácil ver que $x^{q^n}$ es una sucesión de Cauchy, y el hecho de que $\omega(\bar{x})$ no depende de $x$ se deduce de la unicidad del lema de Hensel sobre el polinomio $x^{q-1}-1$ . Uno escribe $\omega(x)$ para $x \in \mathcal{O}_K$ para significar $\omega$ aplicada a la reducción de $x$ .

Ahora el hecho importante sobre el carácter de Teichmüller que necesitamos es que si $\mu_K'$ denotan las raíces de la unidad de $K$ de orden coprimo a $q$ entonces $\mu_K' = \omega(k^\times).$ Esto se deduce de la fórmula de $\omega$ y señalando que $\omega$ fija cada elemento de $\mu_K'$ .

Teorema Existe una única extensión no ramificada de grado $n$ para cada $n$ dado por $K_n=K(\mu_{q^n-1})$ que es Galois cíclico. Además, el mapa natural Gal $(K_n/K) \to$ Gal $(k_n/k)$ es un isomorfismo.

Prueba Dejemos que $K_n = K(\mu_{q^n-1})$ . Entonces $k_n$ contiene $\mathbb{F}_{q^n}$ ya que por nuestro hecho sobre el carácter de Teichmüller el campo de residuos contiene un $q^n-1^{th}$ raíz de la unidad. Sea $\bar{g}$ sea el polinomio mínimo de $a$ , un primitivo $q^n-1^{th}$ raíz de la unidad en $k$ y que $g$ sea una elevación de $\bar{g}$ . Por el lema de Hensel, existe una única raíz de $g$ en $K_n$ reduciendo a cada conjugado de $a$ . Dejar $\alpha$ sea la elevación de $a$ Debemos tener $K(\alpha) = K_n$ , ya que $\omega(\alpha)$ es una primitiva $q^n-1^{th}$ raíz de la unidad. Así, $n = [K_n:K] \geq [k_n:k] \geq n$ por lo que la igualdad debe mantenerse. Entonces, si $\pi$ es un uniformizador de $K$ , $[k_n:k] = [K_n:K] = [\mathcal{O}_{K_n}/\pi\mathcal{O}_{K_n}:\mathcal{O}_{K_n}/\pi\mathcal{O}_{K_n}]$ Así que $\pi\mathcal{O}_{K_n}$ es el ideal máximo de $\mathcal{O}_{K_n}$ Así que $\pi$ se mantiene en primer lugar en $K_n$ y la extensión no está ramificada.

Ahora $K_n$ contiene todos los conjugados de $\alpha$ también es Galois. Reducción mod el ideal máximo de $\mathcal{O}_{K_n}$ da un homomorfismo de Gal $(K_n/K)$ a Gal $(k_n/k)$ pero como $\alpha$ se reducen a $a$ y Gal $(K_n/K),$ Gal $(k_n/k)$ actúan fielmente sobre los conjugados de $\alpha$ y $a$ respectivamente, el homomorfismo es inyectivo y, por tanto, un isomorfismo. Así, $K_n$ es una extensión cíclica.

Para la unicidad, si $L$ es el grado no ramificado $n$ , dejemos que $\pi$ sea como antes, $n = [L:K] = [\mathcal{O}_{L}/\pi\mathcal{O}_{L}:\mathcal{O}_K/\pi\mathcal{O}_K] = [l:k]$ . Escriba $l = k(a)$ y como $\omega(a)$ es un $q^n-1^{th}$ raíz de la unidad, $L \supset K(\mu_{q^n-1})$ pero son del mismo grado, y por lo tanto son iguales.

Espero que esto haya dejado más claro por qué las extensiones no ramificadas de campos locales (no arquimédicos) son fáciles de entender. Resulta que las extensiones abelianas totalmente ramificadas también son fáciles de entender, y se construyen mediante Teoría de Lubin Tate .