Dejemos que $X_1, \ldots, X_n, \ldots$ sea una secuencia de variables aleatorias Bernoulli, $X_k \sim Bern(p_k)$ . Demostrar que $$ X_n \xrightarrow{a.s.} 0 $$ si y sólo si $$ \sum_{k = 0}^{+\infty} p_k < +\infty. $$ La parte "si" es una implicación fácil del teorema de Borel-Cantelli, pero no tengo ninguna idea sobre la segunda parte del problema (por qué la convergencia a.s. implica la convergencia de la serie)
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Surb
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Lo contrario no es cierto. Tome $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)=\big((0,1),\mathcal B(0,1),m\big)$ donde $m$ es la medida de Lebesgue en $(0,1)$ . Sea $$X_n(\omega ):=\boldsymbol 1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}(\omega ).$$ Set $$p_n:=\mathbb P\{X_n=1\}=\frac{1}{n}.$$ Entonces, $X_n\sim \text{Bern}(p_n)$ y $X_n\to 0$ a.s. Sin embargo, $$\sum_{n\in\mathbb N}p_n=\sum_{n\in\mathbb N}\frac{1}{n}=\infty .$$
Dejemos que $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sea también independiente . En este caso, suponga $X_n\to 0$ a.s. (es decir $P(X_n\to 0)=1)$ . Supongamos que $\sum_np_n=\infty$ . Entonces B-C II implica que $P(X_n=1 \textrm{ i.o.})=1$ . Sin embargo, esto contradice $X_n \to 0$ a.s.; para ver esto: $$\{X_n\to 0\}=\bigcap_{\ell \in \mathbb{N}}\bigcup_{n \in \mathbb{N}}\bigcap_{k\geq n}\{X_k\leq 1/\ell\}=\bigcap_{\ell\in \mathbb{N}}\{X_n>1/\ell \textrm{ i.o.}\}^c\subseteq \{X_n>1/2 \textrm{ i.o.}\}^c=\{X_n=1\textrm{ i.o.}\}^c$$ y tendríamos $P(X_n\to 0)\leq P(\{X_n=1\textrm{ i.o.}\}^c)=0\neq 1$ . Así que $\sum_np_n<\infty$ .
Para ver que el $X_n$ en el ejemplo correcto de @Surb son no independiente, nota $X_{n+1}\leq X_{n}$ a.s. $\forall n$
