Criterio para el mapa basado en deloopable

Question

¿Existe un criterio para un mapa basado $f:G\to H$ entre espacios puntuales deloopables para que sean deloopables, es decir, que exista un mapa basado $g:X\to Y$ entre espacios puntuales conectados por trayectorias tales que $G\simeq \Omega X$ , $H\simeq \Omega Y$ y $f=\Omega g$ ?

Usted puede asumir que sabe $G$ y $H$ son ya deloopables, es decir, son $A_\infty$ -tales que el monoide inducido en $\pi_0$ es un grupo (esto se ha discutido antes, ver por ejemplo esta pregunta .)

Answer 1

Sí. El criterio es que $f:G\to H$ ser un $A_\infty$ -mapa con respecto a la $A_\infty$ -estructuras en $G$ y $H$ . La definición figura en la sección 4 de la obra de Stasheff La asociatividad homotópica de $H$ -espacios, II (Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), 293-312), en particular véase el teorema 4.5.

Hubo una discusión relacionada con la pregunta de MO Los mapas de delooping entre $H$ -espacios .

Answer 2

Como dice Mark Grant, $f$ tiene que ser un $A_\infty$ -mapa. Dependiendo de su situación, también puede ser útil verlo de la siguiente manera:

El espacio de clasificación $BG$ del espacio del bucle $G$ tiene una filtración esquelética $B^{(n)}G$ procedentes, por ejemplo, del $n$ -esqueleto del espacio simplicial $NG$ El nervio de $G$ . (Nota: No me refiero a la $n$ -esqueleto del complejo CW $BG$ .) Tenemos que $B^{(0)}G$ es un punto y $B^{(1)}G = \Sigma G$ . Así que siempre tienes un mapa $$ \Sigma f\colon B^{(1)}G = \Sigma G → \Sigma H =B^{(1)}H \hookrightarrow BH, $$ y $f$ deloops si puedes levantarlo de $\Sigma G$ a lo largo de todo el camino $B^{(2)}G$ etc. a $BG$ . Esto da lugar a una teoría de la obstrucción en la que, dependiendo de su aplicación, podría ser capaz de calcular explícitamente los grupos de obstrucción.