Supongamos que $f$ es analítico en $(a, b)$ . Demostrar que si $(c, d)$ es un subintervalo de $(a, b)$ y $f(x) = 0$ para todos $x$ en $(c, d)$ entonces $f(x) = 0$ para todos $x$ en $(a, b)$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Thomas
Puntos
6040
Como esto parece ser un ejercicio, te daré la configuración técnica y te dejaré que descubras la conclusión principal:
Dejemos que $(e,f)$ el máximo subintervalo abierto en el que $f=0$ . Entonces, si por ejemplo $e\neq a$ , $f(e)= 0$ por la continuidad. Dado que $f$ es analítica admite una expansión en serie de Taylor en torno a $e$ , $$f(x) =\sum_{k=0}^\infty c_k (x-e)^k$$
Desde $f(x)=0$ para $x>e$ en un barrio de $e$ queremos utilizar este hecho para demostrar que $c_k= 0$ para cada $k$ . Esto implicará entonces $f(x)= 0$ también para $x<e$ cerca de $e$ contradiciendo la minimidad de $e$ con esta propiedad. Esto es lo que dejo para que lo pruebes.
