Actualmente estoy leyendo lo siguiente de Dummit y Foote ¿puede alguien explicarme por qué el número de conjugados de $\sigma$ es:
$$\frac{n(n\ -\ 1)...(n\ -\ m\ + \ 1)}{m}\ ?$$
Respuestas
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Ty221
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Dos permutaciones en $S_{n}$ son conjugados si y sólo si tienen el mismo tipo de ciclo, así que realmente la pregunta es cuántos $m$ -ciclos que hay en $S_{n}$ . Bien, elija su $m$ elementos de $n$ en $n\choose{m}$ maneras. Pero podemos reorganizar esos $m$ elementos en $m!$ maneras. Por último, cada uno de nuestros ciclos ha sido representado $m$ veces por un reordenamiento cíclico, por lo que dividimos por $m$ . Así que nuestro recuento final es $$\frac{n!}{(n-m)!m}$$ según sea necesario.
Denote $$ \sigma=(a_{1}a_{2}\ldots a_{m}) $$ Existe un teorema que afirma que para cada $\tau\in S_{n}$ $$ \tau^{-1}\sigma\tau=(\tau(a_{1}),\tau(a_{2}),\ldots,\tau(a_{m})) $$
por lo tanto, dado cualquier $m$ elementos de $\{1,...,n\}$ hay algo de $\tau$ s.t $\tau^{-1}\sigma\tau$ resultará en un ciclo de esos exactamente $m$ elementos.
Para la fórmula anterior recuerda dos cosas:
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$\binom{n}{m}$ es el número de maneras de elegir $m$ elementos de un conjunto de $n$ elementos
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Cualquier desplazamiento cíclico del $m$ elementos resulta en el mismo ciclo Por ejemplo $(123)=(231)=(312)$ por lo que para anular esas repeticiones necesitamos dividir por $m$ que es el número de esos desplazamientos cíclicos
Anurag Jain
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Una permutación es conjugada si tiene la misma estructura de ciclo. En este caso quieres encontrar el número de conjugados de un ciclo m, por lo que tu pregunta se reduce a encontrar el número de ciclos m en Sn. Lo que se puede hacer mediante n(n-1)(n-2)...(n-m+1)/m formas ya que para la primera entrada tienes n opciones, para la siguiente tienes (n-1) opciones y finalmente divides n(n-1)...(n-m+1) por m ya que cada m ciclo se puede representar de m formas.
user692761
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El número de combinaciones de $n$ distintas cosas tomadas $m$ a la vez es su punto de partida, para lo cual resulta útil el coeficiente binomial: $n!/m!(n-m)!$ Como cada combinación representará más de una $m$ -ciclo, para cada elección del primer punto de un $m$ -ciclo habrá $m-1$ opciones para el segundo puesto, $m-2$ opciones para el tercer puesto, etc. A continuación, se llega a $(m-1)! \times n!/m!(n-m)!$
