¿Cuántas permutaciones de la cadena RONALDMCDONALD no tienen vocales consecutivas?
Las diez consonantes son $1$ R, $2$ Ns, $2$ Ls, $3$ Ds, $1$ M, $1$ C. Las cuatro vocales son $2$ Como y $2$ Os.
Tu idea de ordenar las consonantes y luego separar las vocales colocándolas entre las consonantes o en los extremos de la fila es acertada. Vamos a corregir tu cuenta.
Primero ordenamos las diez consonantes. Tenemos diez posiciones que llenar. Elige tres de ellas para las D, 2 de las siete posiciones restantes para las L, y dos de las cinco posiciones restantes para las L. Esto nos deja tres posiciones para tres consonantes distintas. La C, la R y la M pueden colocarse en esas posiciones en $3!$ formas. Por lo tanto, el número de disposiciones de las diez consonantes es $$\binom{10}{3}\binom{7}{2}\binom{5}{2}3! = \frac{10!}{3!7!} \cdot \frac{7!}{2!5!} \cdot \frac{5!}{2!3!} \cdot 3! = \frac{10!}{3!2!2!}$$
Como has observado, la disposición de las diez consonantes crea once espacios, nueve entre consonantes sucesivas y dos en los extremos de la fila. Para separar las vocales, debemos seleccionar cuatro de estos once espacios en los que colocar una vocal, como has hecho tú. A continuación, debemos seleccionar qué dos de estos cuatro espacios se rellenarán con As. Los dos restantes deben rellenarse con Os. Por lo tanto, el número de formas de seleccionar los espacios para las vocales y disponerlas en los espacios seleccionados es $$\binom{11}{4}\binom{4}{2} = \frac{11!}{7!4!} \cdot \frac{4!}{2!2!} = \frac{11!}{7!2!2!}$$ El factor de $7!$ en el denominador resulta del hecho de que los siete espacios que se dejan en blanco son indistintos. Los factores de $2!$ en el denominador representan el hecho de que los dos As son indistintos y los dos Os son indistintos.
Por lo tanto, el número de permutaciones de la cadena RONALDMCDONALD que no tienen vocales consecutivas es $$\binom{10}{3}\binom{7}{2}\binom{5}{2}3! \cdot \binom{11}{4}\binom{4}{2}$$
¿Cuántas permutaciones de la cadena RONALDMCDONALD contienen las vocales en orden alfabético?
Si ignoramos la restricción, tenemos $14$ cartas para arreglar. De ellas, tenemos $1$ R, $2$ Ns, $2$ Ls, $3$ Ds, $1$ M, $1$ C, $2$ Como, y $2$ Os. Se pueden organizar en $$\binom{14}{3}\binom{11}{2}\binom{9}{2}\binom{7}{2}\binom{5}{2}3! = \frac{14!}{3!2!2!2!2!}$$ formas distinguibles.
Las cuatro vocales pueden disponerse en $\binom{4}{2} = 6$ formas distinguibles. De estas seis formas, sólo una deja las vocales en orden alfabético. Por simetría, el número de disposiciones de la cadena RONALDMCDONALD en las que las vocales aparecen en orden alfabético es $$\frac{1}{6}\binom{14}{3}\binom{11}{2}\binom{7}{2}\binom{5}{2}3!$$
¿Cuántas permutaciones de la cadena RONALDMCDONALD contienen la subcadena OLAND?
Si tratamos OLAND como un bloque, tenemos diez objetos para ordenar. Entre ellos se encuentra OLAND, $1$ R, $1$ N, $1$ L, $2$ Ds, $1$ M, $1$ C, $1$ A, $1$ O. Elige dos de las diez posiciones para las dos D. Los ocho objetos distintos restantes pueden colocarse en los ocho lugares restantes de $8!$ órdenes. Esto da un recuento preliminar de $$\binom{10}{2}8! = \frac{10!}{2!}$$ que es lo que has obtenido.
Sin embargo, observe que es posible tener dos subcadenas de la forma OLAND. Hemos contado estas cadenas dos veces, una por cada forma en que podríamos haber designado una de las subcadenas como OLAND en la cadena. Sólo queremos contarlas una vez, así que debemos restarlas del total.
Si tenemos dos bloques de OLANDs, también tenemos $1$ R, $1$ D, $1$ M, y $1$ C. Por lo tanto, tenemos seis objetos para organizar, incluyendo dos bloques idénticos y cuatro letras distintas. Elegimos dos de las seis posiciones para los bloques, y luego colocamos las cuatro letras distintas en las cuatro posiciones restantes, lo que puede hacerse en $$\binom{6}{2}4! = \frac{6!}{2!}$$ formas distinguibles.
Por lo tanto, el número de permutaciones de la cadena RONALDMCDONALD que contienen la cadena OLAND es $$\binom{10}{2}8! - \binom{6}{2}4!$$
