Considere un lenguaje de primer orden sin igualdad, y un solo símbolo de relación P. ¿Existe un conjunto de axiomas (que puede ser un conjunto finito o infinito) en ese lenguaje, tal que todos esos axiomas serán verdaderos si P es un orden parcial reflexivo? Ciertamente, los órdenes parciales antireflexivos (también conocidos como estrictos) son definibles. Me preguntaba si los órdenes parciales reflexivos también son definibles.
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JoshL
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En la lógica de primer orden sin igualdad, se puede añadir un nuevo símbolo no lógico " $=$ " al lenguaje, añade axiomas para asegurar que la interpretación de $=$ es una relación de equivalencia, y añadir un esquema de axiomas $$ x = y \to (\phi(x) \leftrightarrow \phi(y)) $$ para todas las fórmulas $\phi$ en el nuevo lenguaje ampliado. El resultado es que, en cualquier modelo $M$ del lenguaje extendido, podemos modelar por $=$ para obtener un modelo que satisfaga las mismas sentencias y en el que $=$ se interpreta por la relación de igualdad verdadera (estos se llaman "modelos normales"). Así, cada modelo de la teoría extendida se parece a un modelo de lógica de primer orden con igualdad que ha sido "ampliado" sustituyendo los elementos individuales por clases de equivalencia de elementos indistintos.
Así, el resultado es que aunque los órdenes parciales no son axiomatizables en la lógica de primer orden sin igualdad, sí lo es algo muy parecido: los órdenes kinda-parciales en los que el $=$ es en realidad una relación de equivalencia, y en la que la relación de orden respeta esta relación de equivalencia y, por lo demás, actúa como un orden parcial. Estos pueden ser vistos como órdenes parciales sobre setoides -- por ejemplo, si definimos los números reales como clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy de los racionales, entonces la relación de orden habitual sobre $\mathbb{R}$ induce un orden medio-parcial en las propias secuencias de Cauchy.
El mismo fenómeno es válido para teorías arbitrarias, no sólo para órdenes parciales. En la lógica de primer orden sin igualdad siempre podemos añadir un $=$ que tiene la misma propiedad de sustitución que la igualdad verdadera, pero la interpretación de $=$ puede ser una relación de equivalencia arbitraria. Pero rara vez nos interesa la relación de equivalencia. Así que es habitual limitarse a los modelos normales, que es lo mismo que trabajar en la lógica de primer orden con igualdad.
En el lenguaje de primer orden sin igualdad, y con un solo símbolo de relación (binario) $P$ , todos los modelos de la frase $\forall x\forall y Pxy$ satisfacen exactamente las mismas sentencias, pero sólo los modelos de un elemento de esa sentencia son órdenes parciales (reflexivos). Por lo tanto, la clase de órdenes parciales (reflexivos) no es definible en ese lenguaje.
