No estoy familiarizado con los procesos de Feller, pero en el nivel más básico, parece que ambos son casos particulares de acciones de (semi)-grupos sobre espacios y teoría de la representación que es algo que aparece i
Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie y sea $\alpha \colon \mathbb{R} \rightarrow G$ sea un homomorfismo de grupos de Lie. Dicho homomorfismo se denomina subgrupo de un parámetro y está determinado unívocamente por el generador infinitesimal $X = \dot{\alpha}(0)$ que es un elemento del álgebra de Lie $T_eG = \mathfrak{g}$ . El homomorfismo $\alpha$ puede reconstruirse a partir del generador infinitesimal $X$ utilizando el mapa exponencial de $G$ como $$ \alpha(t) = \exp_G(tX). $$
Dado un homomorfismo $\varphi \colon G \rightarrow H$ de grupos de Lie, podemos tomar su derivada en la identificación y obtener un homomorfismo $\varphi_{*} \colon \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{h}$ que es la "versión infinitesimal" de $\varphi$ . Ya que tenemos $\varphi(\exp_G(tX)) = \exp_H(t\varphi_{*}(X))$ tenemos la esperanza de reconstruir el homomorfismo $\varphi$ de la versión infinitesimal $\varphi_{*}$ utilizando los mapas exponenciales en $G$ y $H$ y esto efectivamente funciona si $G$ está simplemente conectado.
¿Qué tiene que ver esto con las acciones de grupo?
Supongamos que tenemos un $G$ -acción en algún conjunto $X$ . Dicha acción se describe mediante un homomorfismo $\theta \colon G \rightarrow \operatorname{Aut}(X)$ (en el que se acierta con el $\theta(g,x) = gx$ ). Si el conjunto tiene alguna estructura que la acción respeta, entonces la imagen del homomorfismo caerá en un subgrupo menor de $\operatorname{Aut}(X)$ (ojalá un "grupo de Lie") y podemos aplicar las observaciones anteriores.
Considere los siguientes ejemplos:
- Dejemos que $M$ sea una colector y que $\theta \colon M \times \mathbb{R} \rightarrow M$ sea un flujo global suave en $M$ . Podemos pensar en $\theta$ como $\mathbb{R}$ -acción $\bar{\theta} \colon \mathbb{R} \rightarrow \operatorname{Diff}(M)$ definido por $\bar{\theta}(t)p = \theta(p,t)$ . Permitiéndonos no ser rigurosos por un minuto, pensamos en $\operatorname{Diff}(M)$ como un grupo de Lie de dimensión infinita (sea lo que sea que eso signifique) cuyo espacio tangente en la identidad es precisamente el espacio $\mathfrak{X}(M)$ de campos vectoriales en $M$ . Por lo tanto, esperamos que $\bar{\theta}$ (y $\theta$ ) se determinará de forma única a partir del generador infinitesimal $\dot{\bar{\theta}}(0) = X \in \mathfrak{X}(M)$ mediante la fórmula $$ \theta(p,t) = \bar{\theta}(t)(p) = \exp_{\operatorname{Diff}(M)}(tX) p.$$ El campo vectorial $X$ se obtiene como $$ X(p) = \frac{d}{dt}(\bar{\theta})|_{t=0} p = \frac{d}{dt} (\bar{\theta}(p))|_{t = 0} = \frac{d}{dt} \theta(p,t)|_{t = 0} $$ que es la definición habitual del generador infinitesimal de un flujo. Esto también explica por qué el flujo $\varphi_t^X(p) = \theta(p,t)$ es denotado por algunos autores como $\exp(tX)p$ .
- El punto anterior puede generalizarse y hacerse riguroso para un grupo general $G$ . Sea $M$ sea un colector y $\theta \colon M \times G \rightarrow M$ sea una acción suave de un grupo de Lie $G$ en $M$ a la derecha (considero que las acciones del grupo de la derecha son coherentes con la convención de Lee). Tal acción da un mapa $\bar{\theta} \colon G \rightarrow \operatorname{Diff}(M)$ y por tanto debería inducir un homomorfismo $\bar{\theta}_{*} \colon \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{X}(M)$ entre las álgebras de Lie. Esto efectivamente funciona y $\bar{\theta}_{*}$ (indicado en el libro de Lee por $\hat{\theta}$ y definido directamente) se denomina generador infinitesimal de la acción del grupo. A diferencia del caso anterior, no siempre podemos reconstruir la acción $\theta$ del generador infinitesimal $\hat{\theta}$ pero podemos hacerlo si $G$ está simplemente conectado.
- Ahora, supongamos que $\mathbb{R}$ "actúa" unitariamente en un espacio de Hilbert complejo $H$ . Así, tenemos un homomorfismo $\theta \colon \mathbb{R} \rightarrow U(H)$ . Por analogía con el caso de dimensión finita, podríamos esperar que $U(H)$ es un grupo de Lie de dimensión infinita cuya álgebra de Lie es el subespacio de operadores mixtos en $H$ y así deberíamos obtener un generador infinitesimal $X \colon H \rightarrow H$ que satisface $X^{*} = -X$ y la acción debe ser reconstruida como $$ \theta(t)v = \exp(tX)v. $$ De nuevo, por analogía con el caso de dimensión finita, podemos esperar que el mapa exponencial sea la exponencial regular definida mediante la expansión en serie de potencias (como ocurre para los subgrupos de $\operatorname{GL}(V)$ . Este resultado es efectivamente válido y se denomina Teorema de Stone . El escenario de dimensión infinita complica las cosas en cierto modo (hay que especificar con precisión qué tipos de acciones están "permitidas" y entonces el generador infinitesimal $X$ resulta ser un operador posiblemente no acotado, por lo que la exponencial no es realmente la exponencial regular) pero la idea básica se mantiene. Por cierto, por razones relacionadas con la mecánica cuántica, el generador infinitesimal se suele tomar como $-iX$ que es un operador autoadjunto y entonces la evolución se describe por $\exp(itX)$ .
Por último, permítanme señalar que no estoy familiarizado con una teoría general que maneje todos los ejemplos anteriores, así que esto es más una filosofía que una afirmación matemática precisa.
