¿Cómo puedo solucionar el problema de $x$ en $\frac{(x-a)\sqrt{x-a}+(x-b)\sqrt{x-b}}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}}=a-b$ ?

Question

La pregunta

Esta es una pregunta de deberes. Dado lo siguiente, debo resolver para $x$ en términos de $a$ y $b$ :

$$\frac{(x-a)\sqrt{x-a}+(x-b)\sqrt{x-b}}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}}=a-b;a>b.$$

Mi intento

Aunque veo el patrón de múltiples ocurrencias de $(x-a)$ , $(x-b)$ No veo ninguna forma de simplificar más la fracción, así que paso a simplificar la expresión multiplicando por $\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}$ :

$$\begin{align*} (x-a)\sqrt{x-a}+(x-b)\sqrt{x-b}&=(a-b)(\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\\ &=a\sqrt{x-a}+a\sqrt{x-b}-b\sqrt{x-a}-b\sqrt{x-b} \end{align*}$$

Ahora tengo lo siguiente:

$$(x-a)\sqrt{x-a}+(x-b)\sqrt{x-b}=a\sqrt{x-a}+a\sqrt{x-b}-b\sqrt{x-a}-b\sqrt{x-b}$$

Simplificando el RHS ya que me quedé sin ideas en ese momento:

$$x\sqrt{x-a}-a\sqrt{x-a}+x\sqrt{x-b}-b\sqrt{x-b}=a\sqrt{x-a}+a\sqrt{x-b}-b\sqrt{x-a}-b\sqrt{x-b}$$

Me di cuenta de que todos uno de los factores comunes $\sqrt{x-a},\sqrt{x-b}$ así que traté de aislarlos y factorizarlos es decir, todos $\sqrt{x-b}$ términos en un lado y $\sqrt{x-a}$ términos en el otro.

$$\sqrt{x-b}(x-a)=\sqrt{x-a}(2a-b-x)$$

Intenté entonces cuadrar ambos lados, pero eso me llevó a un buen lío.

$$(x-b)(x^2-2ax+a^2)=(x-a)(4a^2-4ab+2bx-4ax+b^2+x^2)$$

Me da miedo incluso empezar a intentar simplificar esto. Estoy convencido de que lo estoy haciendo de forma equivocada.

El $a>b$ La insinuación es interesante, pero no tengo ni idea de qué implicación puede tener aquí.

Creo que el $(x-a)\sqrt {x-a}$ patrones puede significar algo, tal vez podría hacer algo con $a\sqrt a=\sqrt{a^3}$ pero en este punto es probablemente un callejón sin salida.

Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

Utiliza la fórmula: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ .

Lo conseguimos: $$\frac{(x-a)\sqrt{x-a}+(x-b)\sqrt{x-b}}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}}=\\ \frac{(\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})((x-a)-\sqrt{(x-a)(x-b)}+(x-b))}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}}=\\ 2x-a-b-\sqrt{(x-a)(x-b)}=a-b \Rightarrow \\ (x-a)(x-b)=(2x-2a)^2 \Rightarrow \\ 3x^2+(b-7a)x+4a^2-ab=0 \Rightarrow \\ x=\frac{(7a-b)\pm \sqrt{(b-7a)^2-12(4a^2-ab)}}{6}=\\ \frac{7a-b\pm (a-b)}{6}=\\ \frac{4a-b}{3}; a.$$

Answer 2

Sugerencia: Definir $$u=\sqrt{x-a}\\w=\sqrt{x-b}$$ por lo tanto $${w^3+u^3\over u+w}=w^2-u^2$$ lo que da lugar a $$2u^3=uw^2-u^2w$$ una respuesta es $u=0$ o $x=a$ que es válido. Los otros se pueden encontrar resolviendo $$2u^2=w^2-uw$$ o $$u^2+uw=a-b$$ sustituyendo obtenemos $$x-a+\sqrt{(x-a)(x-b)}=a-b$$

Answer 3

Sugerencia: Escriba su ecuación en la forma $$\sqrt{x-a}(x+b-2a)=\sqrt{x-b}(a-x)$$ y cuadrarlo. Obtenemos en el caso de $$a>b$$ $$x=a$$ o $$x=\frac{1}{3}(4a-b)$$

Answer 4

Otra forma es la siguiente:

• Set $\boxed{x = a + t(a-b)}$ para $t \geq 0$ $$\begin{eqnarray*} \frac{(x-a)\sqrt{x-a}+(x-b)\sqrt{x-b}}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}} & = & a-b \\ & \Leftrightarrow & \\ \frac{t(a-b)\sqrt{t(a-b)}+(t+1)(a-b)\sqrt{(t+1)(a-b)}}{\sqrt{t(a-b)}+\sqrt{(t+1)(a-b)}} & = & a-b \\ & \Leftrightarrow & \\ \frac{t\sqrt{t}+(t+1)\sqrt{t+1}}{\sqrt{t}+\sqrt{t+1}} & = & 1 \\ & \Leftrightarrow & \\ (t(\sqrt{t+1} + \sqrt{t})+\sqrt{t+1})(\sqrt{t+1}-\sqrt{t}) & = & 1 \\ & \Leftrightarrow & \\ t+ t+1 - \sqrt{t(t+1)} & = & 1 \\ & \Leftrightarrow & \\ 2t & = & \sqrt{t(t+1)} \\ & \Leftrightarrow & \\ t =\frac{1}{3} & \mbox{ or } & t= 0 \\ & \stackrel{x = a + t(a-b)}{\Leftrightarrow} & \\ \boxed{x = a + \frac{1}{3}(a-b)} &\mbox{ or } & \boxed{x= a} \end{eqnarray*}$$