Dado un proceso estocástico $X: [0,T] \times \Omega \to \mathbb R$ Me di cuenta de que hay diferentes significados de $\int_0^T X(t) dt$ .
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$\int_0^T X(t, \omega) dt$ , $\forall \omega \in \Omega$ o a.e., donde la integral es la integral de Lebesgue con respecto a la medida de Lebesgue en $[0,T]$ . (Esta es la definición que parece más natural).
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$\int_0^T X(t, \omega) dt$ , $\forall \omega \in \Omega$ o a.e., donde la integral es la integral de Riemann sobre $[0,T]$ . (Esta es la definición similar a la integral de Ito, excepto que el integrador $W(t)$ sustituido por $t$ .)
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Dada una partición $\mathcal P$ de $[0,T]$ en $0=t_0 < t_1 < t_2 < \dots < t_n=T$ , defina $\delta(\mathcal P) := \max_i (t_{i+1} - t_i)$ . Para cada $i \leq n-1$ Supongamos que $t_i \leq \psi_i \leq t_{i+1}$ . Defina la suma de Riemann como $S_{\mathcal P} := \sum_i X(\psi_i) (t_{i+1} - t_i)$ . Si $S(\mathcal P)$ converge en $L^2$ norma como $\delta(\mathcal P)$ va a $0$ Entonces, defina $\int_0^T X(t) dt$ para ser el límite. (Esta es la definición tomada de los procesos estocásticos de Lamperti).
Mis preguntas son:
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Es $\int_0^T X(t) dt$ ¿es siempre una variable aleatoria según cada una de las tres definiciones?
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Para un proceso estocástico $X$ ¿la existencia de una definición implica la existencia de otra definición?
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¿Y si se relajan las dos primeras definiciones para permitir $\int_0^T X(t, \omega) dt$ ¿existen a.e.?
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En la isometría de Ito $E([\int_0^T X(t) dW(t)]^2) = E(\int_0^T X(t)^2 dt)$ ¿Cómo es que $\int_0^T X(t)^2 dt$ en el RHS definido?
Gracias y saludos
