Comprender la clase de todas las secuencias convergentes en un espacio discreto.

Question

Pruébalo: $X$ con la métrica discreta $d$ donde,

$d(x,y)=\begin{cases} 1,&x\ne y\\0,& x=y\end{cases}$

$ (x_n)$ es convergente si y sólo si es constante para un tamaño suficientemente grande $ n$ .

Me imaginé que la mejor manera de demostrar esto es encontrando la(s) secuencia(s) de Cauchy, ya que eso demostraría que es convergente, sólo que no estoy seguro de cómo completar esto ya que no hemos tocado esto en profundidad en la clase hasta ahora.

Nota: Esta pregunta es para practicar. No es parte de una tarea para nada para las marcas. $d(x,y) $ se supone que se formatea como una función a trozos, pero no sé cómo hacer ese formato en math stack exchange. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

$(X, d_{discrete}) $ sea un espacio discreto.

Una secuencia $(x_n) $ en $(X, d) $ es convergente si $(x_n) $ es finalmente constante.

$(x_n) $ es finalmente constante si $\exists N\in\mathbb{N}$ tal que $ x_n= constant $ [para todos $n>N$ ]

Prueba: Si $(x_n) $ es finalmente constante entonces debe converger y converge al término constante.

Ahora bien, si $(x_n) $ es convergente a $x$ en $(X, d) $

Entonces, dado cualquier $\epsilon >0$ $\exists N\in\mathbb{N}$ tal que $d(x_n , x) <\epsilon $ para todos $n>N$

Como la desigualdad anterior es cierta para cualquier $\epsilon $ siempre que sea positivo, podemos establecer $\epsilon =1$

Entonces, $d(x_n, x) <1 , \forall n>N$

Desde entonces, $d$ es una métrica discreta, la única opción posible es $d(x_n , x) =0$ para todos $n>N$

Por lo tanto, $x_n = x $ para todos $n>N$

Y la secuencia es de la forma :

$\{x_1 ,x_2 , ...,x_N,x, x, x,...\}$

Y por lo tanto $(x_n ) $ es finalmente constante.