Dejemos que $X_1, X_2, X_3, X_4$ ser independiente y $\operatorname{Exp}( \lambda )$ . Tenemos, $$Y_1 := X_1+X_2+ X_3+ X_4$$ $$Y_2:= \frac{X_1 }{X_1+X_2}$$ $$Y_3:= \frac{X_1 + X_2 }{X_1+X_2+ X_3}$$ $$Y_4:=\frac{X_1 + X_2 + X_3}{X_1+X_2+ X_3+ X_4}$$ Ahora se supone que debemos demostrar que estos, $Y_i$ son independientes y determinan su distribución conjunta (de $(Y_1, Y_2, Y_3, Y_4)$ ).
Mi enfoque inicial es utilizar el hecho de que, $$Y_i = g_i(X_1,\dots,X_n)$$ $$X_i = h_i(Y_1,\dots,Y_n)$$ $$f_\mathbf{Y}(y_1,\dots,y_n) = f_\mathbf{X}(h_1(y_1,\dots,y_n),\dots,h_n(y_1,\dots,y_n)) \cdot |J|$$ $J$ siendo el determinante jacobiano. Empiezo por reescribir cada $X_i$ en función de $(Y_1,\dots, Y_1)$ y obtener, después de algunas manipulaciones que, $$X_1 = Y_1 Y_2 Y_3 Y_4$$ $$X_2 = Y_1 Y_3 Y_4 (1-Y_2)$$ $$X_3 = Y_1 Y_4(1-Y_3)$$ $$X_4 = Y_1(1-Y_4)$$
Cálculo de todas las derivadas parciales, $\frac{\partial x_j}{\partial y_i}$ me da la siguiente matriz,
\begin{bmatrix} y_2y_3y_4 & y_1y_3y_4 & y_1y_2y_4 & y_1y_2y_3 \\ y_3y_4(1-y_2) & -y_1y_3y_4 & y_1y_4(1-y_2) & y_1y_3(1-y_2) \\ y_4(1-y_3) & 0 & -y_1y_4 & y_1(1-y_3) \\ 1-y_4 & 0 & 0 & -y_1 \end{bmatrix}
Mi álgebra lineal está un poco oxidada, pero creo que el hacer lo siguiente es válido. Se trata de realizar operaciones fila/columna para obtener un determinante triangular. Primero intercambio las columnas: 1. Intercambio la columna #1 y la #4. 2. 2. Intercambio de la columna #2 y #1, 3. Intercambio de la columna #2 y #3. Esto da como resultado
\begin{bmatrix} y_1y_3y_4 & y_1y_2y_4 & y_1y_2y_3 & y_2y_3y_4 \\ -y_1y_3y_4 & y_1y_4(1-y_2) & y_1y_3(1-y_2)& y_3y_4(1-y_2) \\ 0 & -y_1y_4 & y_1(1-y_3) & y_4(1-y_3) \\ 0 & 0 & -y_1 & 1-y_4 \end{bmatrix}
Entonces: 1. Añade la fila 1 a la fila 2. 2. Añade la fila #2 a la fila #3. 3. Añadir la fila #3 a la fila #4. Entonces tengo,
\begin{bmatrix} y_1y_3y_4 & y_1y_2y_4 & y_1y_2y_3 & y_2y_3y_4\\ 0 & y_1y_4 & y_1y_3 & y_3y_4 \\ 0 & 0 & y_1 & y_4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Si he hecho esto correctamente entonces, $$ |J| = y_1^3 y_4^2 y_3 $$ Tenemos que la f.d.p. conjunta de $(X_1,X_2,X_3,X_4)$ es, $$ f_\mathbf{X} = \lambda^4 e^{-\lambda(x_1+x_2+x_3+x_4)} $$ Entonces obtenemos, después de algunas manipulaciones $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = y_1)$ que, $$ f_\mathbf{Y} = \lambda^4 e^{-\lambda y_1} y_1^3 y_4^2 y_3 $$
La pregunta es ahora si lo he hecho correctamente (es decir, si he calculado la distribución conjunta de $(Y_1, Y_2, Y_3, Y_4)$ ? Si es así, ¿cómo puedo mostrar la independencia para el $Y_i$ 's? ¿Tengo que calcular todas las distribuciones marginales o hay un enfoque más sencillo?
Cualquier sugerencia sobre cómo proceder será muy apreciada.
Gracias.
