Secuencia aleatoria de $0$ y $1$ 's - ¿cuál es la media "en una fila" sucesión

Question

Digamos que creamos una secuencia a partir del lanzamiento de una moneda. Las cabezas serán significadas como $0$ y colas como $1$

Definamos $R$ como elementos sucesivos (en la secuencia dada) del mismo valor.

por ejemplo tenemos la secuencia

$0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,0$

En la secuencia dada hay un total de $7$ diferentes $R$ 's

Mi pregunta es sencilla: Supongamos que tenemos una secuencia infinita, ¿cuál es la longitud media de $R$ (longitud = cuántos elementos hay en $R$ ). en el caso anterior es $12/7$

La pregunta equivalente sería cuántas veces hay un cambio de elemento en la secuencia (también = cuántos $R$ 's - 1)'s.Por ejemplo en una secuencia de la longitud de $100$ , si hay $24$ elementos switch que significa que tenemos $25$ $R$ por lo que la longitud media es $4$ .

También me interesaría la distribución completa de $R$ de la longitud de la misma.

probablemente me falte la terminología adecuada para obtener respuesta en internet.

Answer 1

Cada elemento tiene un cincuenta por ciento de posibilidades de iniciar una nueva R, por lo que la mitad de ellos iniciarán nuevas R. El primero ciertamente lo hará, por lo que el número medio será $(N+1)/2$
La distribución de $R$ será uno más que una variable aleatoria binomial, R-1~B(N-1,1/2)

Answer 2

Consideramos secuencias de longitud fija $n$ . Está buscando el número de corre. El término técnico ayudará en la búsqueda. Existe una amplia bibliografía.

Para $i=1$ a $n$ , dejemos que $X_i=1$ si una carrera comienza en la posición $i$ y que $X_i=0$ en caso contrario. Entonces el número $Y$ de carreras viene dado por $Y=X_1+X_2+\cdots+X_n$ .

Por la linealidad de la expectativa, tenemos $E(Y)=E(X_1)+E(X_1)+\cdots +E(X_n)$ .

Tenemos $E(X_1)=1$ . Para cualquier $i\gt 1$ tenemos $\Pr(X_i=1)=\frac{1}{2}$ . De ello se desprende que $$E(Y)=1+(n-1)\cdot\frac{1}{2}=\frac{n+1}{2}.$$

Observación: En este caso, la respuesta está razonablemente clara sin necesidad de cálculos. Hemos utilizado el método de las variables aleatorias indicadoras porque suele ser útil.