un problema de álgebra lineal sobre la cadena de subespacios invariantes

Question

Me encontré con un problema de álgebra lineal de este tipo en un libro y no tenía ni idea:

Dejemos que $X$ sea un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ (puede no ser de dimensión finita). Sea $T$ sea un operador lineal sobre $X$ . Supongamos que $X \cong \operatorname{ker}\left(T^{n}\right) \oplus i m\left(T^{n}\right)$ . ¿Podemos concluir $\operatorname{ker}\left(T^{n}\right)=\operatorname{ker}\left(T^{n+1}\right), i m\left(T^{n}\right)=i m\left(T^{n+1}\right)$ ?

¿Alguien puede darme alguna pista? ¡Gracias!

Answer 1

$${\rm im}(T^{n})=T^n(X)=T^n({\rm ker}(T^n)\oplus {\rm im}(T^n))=T^n({\rm im}(T^n))={\rm im}(T^{2n})\subseteq {\rm im}(T^{n+1})\subseteq {\rm im}(T^{n})$$

$$ {\rm ker}(T^{n+1})\subseteq {\rm ker}(T^{2n})=(T^n)^{-1}({\rm ker}(T^{n})) =(T^n)^{-1}({\rm ker}(T^{n})\cap {\rm im}(T^n))=(T^n)^{-1}(0) ={\rm ker}(T^{n})\subseteq{\rm ker}(T^{n+1}) $$

Aquí $(T^n)^{-1}$ denota la operación de preimagen de $T^n$ sobre conjuntos, no la inversa de $T^n$ .